6.11. Скругление ребер тела

Операция скругления ребер тела позволяет построить плавный переход от одной грани к другой. На рис. 6.11.1-6.11.4 приведены примеры скругления ребер тел. На рис. 6.11.1, 6.11.2 скруглены выпуклые ребра.

Рис. 6.11.1. Призма со скругленным ребром

Рис. 6.11.2. Призма со скругленными ребрами

На рис. 6.11.3, 6.11.4 скруглены вогнутые ребра.

Рассмотрим общий случай скругления произвольного криволинейного ребра. Пусть грань, лежащая справа от скругляемого ребра (если смотреть снаружи тела вдоль ребра), базируется на поверхности , а грань, лежащая слева от скругляемого ребра, базируется на поверхности .

Рис. 6.11.3. Скругление ребра

Рис. 6.11.4. Вариант скругления ребер

Эти грани будем называть сопрягаемыми. Пусть скругляемое ребро базируется на линии пересечения с поверхностей . По кривой с построим поверхность скругления которая определяется формулой (4.10.11). Краями поверхности скругления являются линии (4.10.5) и (4.10.6), совпадающие с двухмерными линиями (4.10.4)

(6.11.1)

на сопрягаемых поверхностях. Построим два ребра вдоль краев поверхности скругления на базе линий пересечения

Эти ребра будем называть продольными, так как они направлены вдоль скругляемого ребра и имеют ту же ориентацию.

Если скругляемое ребро замкнуто, то поверхность скругления также будет замкнутой по параметру t. Тогда на базе линии пересечения

(6.11.4)

построим ребро, которое будет являться швом.

Если скругляемое ребро не замкнуто, то найдем все грани (за исключением сопрягаемых), пересекающиеся с поверхностью скругления (большая их часть стыкуется в начальной и конечной вершинах скругляемого ребра), и построим линии их пересечения с поверхностью скругления. На базе этих линий пересечения создадим ребра, которые будем называть поперечными.

На базе поверхности построим грань скругления. Цикл этой грани будет состоять из продольных и поперечных ребер (или шва). Для грани скругления определим признак совпадения ее нормали с направлением нормали поверхности. Нормаль грани скругления должна быть направлена наружу тела (нормаль поверхности скругления может совпадать с ней или быть ей противоположной)

После этого перестроим сопрягаемые поверхности и циклы граней на них. Для этого найдем пересечение линий (6.11.2) и (6.11.3) с ребрами сопрягаемых граней или их продолжениями и изменим эти ребра. В одних случаях упомянутые ребра нужно обрезать (рис. 6.11.1), в других случаях их нужно продлить (рис. 6.11.3). Вместо скругляемого ребра в цикл грани поставим ребро на базе линии пересечения (6.11.2), а в цикл грани поставим ребро на базе линии пересечения (6.11.3) (рис. 6.11.5).

Рис. 6.11.5. Перестроение циклов граней при скруглении ребра

Далее перестроим циклы остальных граней, пересекшихся с поверхностью скругления . В циклы этих граней войдут поперечные ребра. Перестроение циклов производится проверкой последовательности стыковки ребер между собой и составлением списка ребер цикла в порядке их следования. Поперечные ребра определят область изменения параметра t поверхности скругления

Скругление сопряженных ребер.

Будем называть стыкующиеся ребра сопряженными., если в точках стыковки они имеют общую касательную. Если в точках стыковки ребра претерпевают излом, то такие ребра будем называть несопряженными.

Рис. 6.11.6. Исходное тело

Рис. 6.11.7. Тело со скруглением нескольких ребер

Если скругляются сразу несколько несопряженных ребер тела, то выполним их скругление последовательно одно за другим. Скругление ребер тел, приведенных на рис. 6.11.2, 6.11.4, 6.11.7, выполнено последовательно.

В случаях скругления нескольких сопряженных ребер различные стадии операции скругления каждого ребра следует выполнять параллельно — одновременно для нескольких ребер. Перед началом операции скругления следует составить группы гладко стыкующихся ребер и далее работать с этими группами как с отдельным ребром описанным выше образом.

Рис. 6.11.8. Исходное тело

Рис. 6.11.9. Тело со скруглением цепочек ребер

Случай скругления нескольких сопряженных ребер приведен на рис. 6.11.9. Исходное тело, показанное на рис. 6.11.8, получено скруглением двух ребер тела, приведенного на рис. 6.11.6.

Для группы сопряженных ребер необходимо сначала построить все поверхности скругления, усечь этими поверхностями ребра тела, построить все продольные и поперечные ребра пересечения поверхностей скругления и граней тела, и только после этого построить грани скругления и произвести перестроение циклов граней тела.

На рис. 6.11.11 приведено тело со скруглением сопряженных ребер, у которых на концах продольные ребра грани скругления сходятся в одну точку (рис. 6.11.10).

Рис. 6.11.10. Исходное тело

Рис. 6.11.11. Тело со скруглением цепочек ребер

В данном примере между сопряженными гранями поперечные ребра стянуты в точку, а поверхности скругления в них вырождаются.

Продольные ребра могут не полностью лежать в области сопрягаемых граней. В этом случае участки продольных ребер, выходящие за область определения сопрягаемых граней должны быть заменены на ребра пересечения грани скругления и соседних с сопрягаемой гранью граней.

Скругление вершин.

Если скруглить три ребра, стыкующиеся в одной вершине, то в вершине полупим картину, приведенную на рис. 6.11.12. Как правило, такую вершину скругляют. Скруглить вершину можно описанным выше способом: ребро пересечения двух граней скругления сопряжено с третьим ребром и может быть скруглено вместе с ним.

Рис. 6.11.12. Подлежащая скруглению вершина

Существует еще один способ скругления вершины. Для этого построим по одной линии на каждой поверхности скругления, используя то, что каждая из трех поверхностей скругления пересекается с двумя другими.

Рассмотрим построение упомянутой линии на одной из поверхностей скругления типа Пусть продольная линия этой поверхности скругления пересекается с продольной линией другой поверхности скругления в точке с параметром , а продольная линия рассматриваемой поверхности скругления пересекается с продольной линией третьей поверхности скругления в точке с параметром Построим на рассматриваемой поверхности скругления двухмерный отрезок прямой из точки в точку :

(6.11.5)

По отрезку и поверхности построим пространственную линию . Линии (6.11.5) построим на каждой из трех поверхностей скругления, имеющих общую точку пересечения. Отрежем и опустим ту часть каждой грани скругления, которая лежит за построенной линией (6.11.5) (со стороны общей вершины). По трем линиям (6.11.5) построим поверхность (3.11.11), а на ее базе построим грань скругления вершины.

Рис. 6.11.13. Скругление ребер и вершин тела

На рис. 6.11.13 приведен пример скругления ребер и вершин призмы описанным способом.

Аналогично можно скруглить вершину, в которой стыкуются четыре скругляемых ребра. Для этого следует использовать поверхность (3.6.1), построенную по четырем кривым.