Главная > Математика > Геометрическое моделирование
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

8.8. Решение кубического уравнения

Для определения канонических коэффициентов поверхности второго порядка и собственных значений матрицы инерции нужно решить кубическое уравнение (3.3.8) и (8.7.11):

Это уравнение может быть решено аналитически. Заменим в уравнении (8.7.11) неизвестную новой неизвестной связанной с равенством

(8.8.1)

После подстановки (8.8.1) в (8.7.11) получим неполное кубическое уравнение относительно не содержащее квадрата новой неизвестной:

(8.8.2)

где введены обозначения

(8.8.3)

В соответствии с основной теоремой алгебры уравнение (8.8.2) имеет три корня, в общем случае комплексных. Пусть есть один из этих корней. Рассмотрим многочлен

некоторой вспомогательной неизвестной у. Этот многочлен обладает двумя корнями удовлетворяющими формулам Виета

(8.8.5)

Подставим (8.8.5) в (8.8.2) и получим или

С учетом (8.8.6) последнее равенство примет вид

(8.8.7)

С другой стороны, из (8.8.6) следует, что

(8.8.8)

Равенства (8.8.7) и (8.8.8) свидетельствуют, что числа являются корнями квадратного уравнения

Решив это уравнение, получим его корни

В соответствии с (8.8.5) сумма кубических корней является решением неполного кубического уравнения (8.8.2):

Формула (8.8.11) называется формулой Кардано.

Так как кубический радикал на множестве комплексных чисел имеет три значения, то даст три значения для даст три значения для . В формуле (8.8.11) должны быть суммированы кубические радикалы (значения ), удовлетворяющие условию (8.8.6). Пусть — любое из трех значений кубического радикала — удовлетворяющее равенству (8.8.6) значение кубического радикала . Тогда корнями неполного кубического уравнения (8.8.2) будут

(8.8.12)

где — кубический корень из единицы, а — квадрат этого кубического корня из единицы.

Формула Кардано позволяет найти три корня, в общем случае комплексных, кубического уравнения. Коэффициенты кубического уравнения в общем случае могут быть комплексными. В случае вычисления главных моментов инерции коэффициенты (8.8.3) и (8.8.4) неполного кубического уравнения, так же как и инварианты , являются действительными числами. В формуле Кадано величина

называется дискриминантом неполного кубического уравнения (8.8.2).

Если коэффициенты являются действительными числами, то дискриминант также является действительным числом и может принимать значения:

Пусть . Тогда . Подставив данные значения в (8.8.12), получим решение

Таким образом, если то кубическое уравнение с действительными коэффициентами имеет три действительных корня, два из которых равны между собой, а третий равен сумме первых двух, взятой с противоположным знаком.

Пусть . В этом случае под знаком каждого из квадратных радикалов стоит положительное действительное число, и, следовательно, под знаком каждого из кубических радикалов стоят действительные числа. Кубический корень из действительного числа имеет одно действительное и два комплексных сопряженных значения. Пусть действительными значениями этих кубических радикалов являются . Подставив данные значения в (8.8.12), получим

(8.8.14)

Таким образом, если то кубическое уравнение с действительными коэффициентами имеет один действительный корень и два сопряженных комплексных корня.

Пусть . В этом случае под знаком каждого из квадратных радикалов стоит отрицательное действительное число, и, следовательно, под знаками кубических радикалов стоят сопряженные комплексные числа. Кубические корни из комплексных чисел в общем случае также являются комплексными числами. Но среди корней кубического уравнения с действительными коэффициентами обязательно один из корней должен быть действительным числом. Пусть действительным корнем кубического уравнения является число . В соответствии с (8.8.5) и (8.8.6) сумма и произведение комплексных чисел равны действительным числам, следовательно, являются сопряженными комплексными числами как корни квадратного уравнения с действительными коэффициентами. Введем обозначение и подставим данные значения в (8.8.12). В результате получим

(8.8.15)

Таким образом, если то кубическое уравнение с действительными коэффициентами имеет три действительных корня.

Можно показать, что все корни характеристического кубического уравнения (8.7.11) являются действительными числами, поэтому рассмотрим подробнее этот случай. Итак, величина является отрицательной. Тогда

где

(8.8.16)

Знак должен совпадать со знаком q. После подстановки данных формул в (8.8.11) получим и

Тогда три действительных корня неполного кубического уравнения выразятся через его коэффициенты формулами

(8.8.17)

Разыскание корней кубического уравнения с действительными коэффициентами по формуле Кардано требует извлечение кубических корней из комплексных чисел, что можно делать путем перехода к тригонометрической записи комплексных чисел. Запись корней (8.8.11) с помощью радикалов следует рассматривать именно с таких позиций. Корни характеристического уравнения (3.3.8) и (8.7.11) определятся формулами

(8.8.20)

где

Возможны частные случаи.

Случай тогда

Случай тогда

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление