Главная > Математика > Геометрическое моделирование
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Глава 5. ТОПОЛОГИЯ ОБОЛОЧЕК

5.1. Топологические объекты

Моделирование окружающих нас предметов требует привлечения более сложных геометрических объектов, чем точки, кривые и поверхности. Одной поверхностью в общем случае невозможно описать геометрическую форму некоторого заданного предмета, но это можно сделать с помощью нескольких поверхностей, связав их определенным образом. То, каким образом поверхности будут связаны друг с другом, составляет дополнительную информацию, которой мы снабдим новые объекты, построенные на основе уже рассмотренных геометрических объектов. Нашей целью является получение геометрической модели окружающих предметов. Все эти предметы занимают некоторую часть пространства, или, другими словами, занимают конечный объем пространства. Для их моделирования нужно описать совокупность поверхностей, отделяющих внутренний объем предмета от остальной части пространства. Для этого потребуется набор определенным образом построенных и обрезанных поверхностей и информация о взаимной связи этих поверхностей — как одна поверхность переходит в другую.

Оболочки.

Поверхности могут быть замкнутыми по одному или двум параметрическим направлениям или незамкнутыми. Незамкнутые поверхности имеют границу. Границей будем назвать линию на поверхности, соответствующую движению ее параметров по границе их области определения. Линию на замкнутой поверхности, по которой она замыкается сама на себя, будем называть швом. Поверхности могут стыковаться друг с другом по границам. Можно сказать, что по шву замкнутая поверхность стыкуется сама с собой. Совокупность стыкующихся по границам поверхностей будем называть оболочкой. Оболочка может состоять из одной поверхности или нескольких поверхностей. Также как и отдельная поверхность, оболочка может быть замкнутой и незамкнутой. Замкнутая оболочка не имеет границы. Незамкнутая оболочка имеет одну или несколько границ.

В предыдущих главах мы исследовали геометрические свойства кривых и поверхностей путем определения их количественных характеристик (длин и углов). В данной главе нас будут интересовать свойства геометрических объектов, не зависящие от количественных характеристик. Мы будем рассматривать непрерывную связь между точками геометрических объектов. Предположим, что оболочка выполнена из эластичного неразрываемого и не склеиваемого материала. Исследуем свойства этой оболочки, которые сохраняются при всевозможных ее деформациях. Деформацией будем называть изменение формы оболочки путем растяжения, сжатия, сдвига или изгиба ее поверхности, не приводящее к разрывам и не требующее склеивания поверхностей оболочки. Эластичная оболочка в виде куба может быть деформирована в сферу, или эллипсоид, или оболочку в виде тетраэдра, но не может быть деформирована в тороидальную оболочку.

Сфера, эллипсоид, оболочка в виде тетраэдра или куба могут быть преобразованы друг в друга путем непрерывных и обратимых отображений. Свойства геометрических объектов, сохраняющиеся при непрерывных и обратимых отображениях одного пространства в другое, изучает топология. С топологической точки зрения сфера, эллипсоид, оболочка в виде тетраэдра или куба эквивалентны. Свойства, характеризующие непрерывность точек некоторой оболочки, являются топологическими свойствами. Несмотря на кажущуюся неопределенность, топологические свойства геометрических объектов связаны с фундаментальными математическими понятиями.

Топология изучает общий случай оболочек, которые могут самопересекаться, иметь или не иметь границы, уходить в бесконечность. Топология оперирует своими объектами, которые несут информацию о их взаимной связи друг с другом, и устанавливает между ними соотношения. При моделировании окружающих нас объектов мы будем строить оболочки из топологических объектов. Они будут нести и количественную геометрическую информацию и топологическую информацию. Количественная геометрическая информация топологического объекта содержится в его геометрическом носителе, которым может являться точка, кривая или поверхность. В данной главе мы сосредоточим внимание на топологических свойствах моделируемых объектов.

Вершины, ребра, циклы, грани.

Рассмотрим оболочки, построенные на основе поверхностей в трехмерном евклидовом пространстве. Для отслеживания связей составляющих оболочку поверхностей дополним поверхности информацией об этих связях и введем топологические объекты. Топологические объекты будут нести одновременно метрическую и топологическую информацию.

Рис. 5.1.1. Топологические объекты

Одним из топологических объектов является оболочка. При построении оболочки будем использовать такие топологические объекты, как грани, ребра, вершины и циклы (рис. 5.1.1). Все топологические объекты имеют общие принципы построения.

Гранью будем называть топологический объект, построенный на основе поверхности. Фактически грань представляет собой поверхность плюс информация о том, какая сторона поверхности является наружной стороной грани, и информация об ее положении в оболочке, т. е. информация об ее соседях. Информация о соседних гранях оформляется в виде циклов.

Цикл — это топологический объект, который описывает одну из границ грани, и содержит информацию о том, где и как к данной грани примыкают соседние грани. Так как вдоль одного цикла к данной грани могут примыкать несколько соседних граней, то цикл состоит из нескольких участков. Каждый участок цикла опирается на некоторое ребро.

Ребром будем называть топологический объект, построенный на основе линии стыковки соседних граней или на основе граничной линии оболочки. Грани стыкуются только по ребрам. Таким образом, каждая грань со всех сторон окружена ребрами. Вершиной будем называть топологический объект, построенный на основе точки, в которой стыкуются ребра. Вершины могут лежать только на краях ребер. Каждое ребро начинается и оканчивается в вершине. Если ребро замкнуто, то оно начинается и оканчивается в одной и той же вершине. Цикл состоит из ребер, образующих замкнутую линию вдоль одной из границ грани. Цикл всегда замкнут и ему приписывается определенное направление. Грань может содержать несколько циклов, причем один из них является внешним, а остальные — внутренними и целиком лежащими внутри внешнего цикла. За положительное направление цикла примем направление движения вдоль цикла, при котором грань всегда находится слева, если смотреть с наружной стороны грани.

Рис. 5.1.2. Ориентация внешнего и внутренних циклов грани

Таким образом, внешний цикл грани ориентирован против часовой стрелки, а внутренние циклы ориентированы по часовой стрелке, если смотреть с наружной стороны грани. Каждый цикл проходит по одной из границ поверхности. На рис. 5.1.2 приведен пример грани с ее циклами.

Грани, ребра и вершины строятся на базе известных геометрических объектов (точек, кривых и поверхностей) добавлением к ним информации о своих соседях и о взаимной ориентации. В результате геометрические объекты приобретают новое качество, чем и обусловлено введение топологических объектов.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление