Главная > Математика > Геометрическое моделирование
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

4.12. Определение точек пересечения трех поверхностей

В некоторых случаях требуется найти точку (точки) пересечения трех поверхностей. Рассмотрим сначала частный случай — пересечение трех плоскостей.

Пересечение трех плоскостей.

Пусть даны три плоскости

(4.12.1)

с единичными нормалями соответственно. Плоскости имеют единственную точку пересечения, если смешанное произведение нормалей отлично от нуля: Пусть искомая точка имеет радиус-вектор . Тогда вектор коллинеарен плоскости вектор колинеарен плоскости , вектор коллинеарен плоскости . Следовательно, должны выполняться равенства

(4.12.2)

Обозначим через координаты точки , через — компоненты вектора нормали через — компоненты вектора нормали через — компоненты вектора нормали . Тогда система уравнений (4.12.2) примет вид

(4.12.3)

Решив систему линейных алгебраических уравнений (4.12.3) относительно найдем общую точку трех плоскостей. Параметры этой точки для каждой из плоскостей найдем по формулам

если ортогональны пары векторов или по формулам (4.6.6) и (4.6.7) в противном случае.

Общий случай.

В общем случае пересечения трех поверхностей каждая точка пересечения должна удовлетворять векторным уравнениям

Эти векторные уравнения содержит шесть скалярных нелинейных уравнений относительно шести параметров у поверхностей. Если в точках пересечения смешанное произведение нормалей поверхностей отлично от нуля, то система может быть решена одним из описанных численных методов. Как правило, мы будем обращаться к решению этой задачи с известным начальным приближением. Например, нам будут известны линии пересечения поверхностей и будет требоваться найти пересечение этих линий. Начальное приближение может быть найдено из решения задачи пересечения соответствующих двухмерных линий на поверхности .

Пусть нам известно начальное приближение параметров трех поверхностей в районе их общей точки пересечения. Тогда в методе Ньютона на итерации приращения параметров точки пересечения будем искать из системы линейных уравнений

где — компоненты радиус-вектора поверхности — компоненты радиус-вектора поверхности — компоненты радиус-вектора поверхности Следующее приближение параметров точки пересечения равны Процесс уточнения параметров закончим, когда на очередной итерации выполнятся неравенства .

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление