Главная > Математика > Геометрическое моделирование
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3.3 Поверхности второго порядка

Эллипсоид, параболоиды, гиперболоиды, цилиндр и конус являются представителями поверхностей второго порядка. Выше приведены параметрические зависимости для их радиус-вектора. В некоторых случаях, например, при обмене данными, приходится иметь дело с неявным описанием поверхностей. Возникает необходимость из неявного представления поверхности получить параметрическое представление и наоборот. Аналитические поверхности можно представить в виде уравнения, которому удовлетворяют координаты х, у, z радиус-вектора поверхности. Поверхности второго порядка в декартовой системе координат описываются уравнением второй степени

(3.3.1)

где — коэффициенты, определяющие тип поверхности, ее положение и ориентацию в пространстве (считается, что хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля). В отличие от параметрического такое описание поверхности не всегда однозначно, а также не является инвариантным относительно преобразования координат. При перемещении или повороте в пространстве поверхности второго порядка коэффициенты не остаются неизменными, причем трудно сразу сказать, изменена ли поверхность или только ее положение.

В расширенной матричной записи уравнение поверхности второго порядка (3.3.1) имеет вид

(3.3.2)

где использованы расширенный вектор (1.4.3)

и расширенная матрица :

(3.3.3)

Для уравнения (3.3.1) поверхности второго порядка величины

являются инвариантами относительно преобразований (1.2.5) параллельного переноса и поворота осей декартовой системы координат. Эти преобразования координат описываются формулами

(3.3.5)

В расширенной матричной записи преобразование координат (3.3.5) имеет вид

где — расширенная матрица:

(3.3.6)

Заметим, что определитель матрицы равен единице. После перехода к координатам х, у, z получим уравнение поверхности второго порядка

откуда следует, что есть инвариант относительно преобразования (3.3.5). Действительно,

Доказательство инвариантности величин может быть выполнено путем замены координат (3.3.5) в (3.3.1) и вычисления величин (3.3.4) аналогично доказательству инвариантности . Тип поверхности второго порядка и ее положение в пространстве определяются значениями инвариантов

Информация о типе поверхности и ее параметрах содержится в характеристической квадратичной форме Предположим, что найдена система координат Oxyz, в которой уравнение поверхности второго порядка имеет канонический (простейший) вид

(3.3.7)

В силу свойства инвариантов будем иметь равенства

Отсюда следует, что свободный член в каноническом уравнении равен

Поверхность второго порядка может быть приведена к указанному каноническому виду, если Поверхности такого вида называются центральными. Для определения остальных канонических коэффициентов центральной поверхности второго порядка составим кубический полином

корнями которого являются канонические коэффициенты . Так в любой системе координат имеют одни и те же значения, то следует вывод, что канонические коэффициенты поверхности второго порядка являются корнями уравнения

(3.3.8)

которое называется характеристическим уравнением. В матричной записи характеристическое уравнение (3.3.8) имеет вид

(3.3.9)

Таким образом, канонические коэффициенты являются собственными значениями матрицы характеристической квадратичной формы поверхности второго порядка. Корни характеристического уравнения (3.3.8) являются действительными, так как матрица характеристической квадратичной формы симметричная. Метод решения кубического уравнения приведен в гл. 8.

Если то один из корней характеристического уравнения равен нулю. Пусть это будет третий по счету корень, и пусть . Тогда поверхность второго порядка может быть приведена к виду

В силу свойства инвариантов для данного уравнения будем иметь равенства

Отсюда следует, что . Такая поверхность не является центральной и имеет действительные точки, если

Если , то поверхность второго порядка может быть приведена к одному из видов:

Поверхность в этих случаях представляет собой цилиндрические поверхности, сечения которых представляют кривые второго порядка.

Приведем классификацию поверхностей второго порядка. Пусть тогда поверхность второго порядка не вырождена и представляет собой:

• эллипсоид, если

однополостный гиперболоид, если или

• двуполостный гиперболоид, если или

• эллиптический параболоид, если ,

• гиперболический параболоид, если

При уравнению не удовлетворяет ни одна точка пространства и оно описывает мнимый эллипсоид. Если то уравнение (3.3.1) описывает:

• коническую поверхность, если или

• эллиптический цилиндр, если ,

• гиперболический цилиндр, если ,

• параболический цилиндр, если при условии, что

Если последнее условие не выполняется, то цилиндры вырождаются в плоскости.

Если поверхность второго порядка привести к главной центральной системе координат, то ее уравнение в ней примет канонический вид. Уравнения, которым удовлетворяют координатные функции поверхностей имеют канонический вид. Координаты центральной точки поверхности определяются из системы уравнений

(3.3.10)

Отсюда

Каждая поверхность второго порядка имеет три главные плоскости, как минимум две из которых являются плоскостями симметрии. Все они проходят через центральную точку Коэффициенты преобразования (3.3.5) уравнения (3.3.1) в главную центральную систему координат являются компонентами векторов ортогональных главным плоскостям.

Векторы называются собственными векторами. Каждый из них соответствует одному из корней характеристического уравнения.

Пусть (корни характеристического уравнения различные). В этом случае базисные векторы главной центральной системы координат могут быть найдены следующим образом. Для каждого А составим систему уравнений

(3.3.11)

Среди уравнений (3.3.11) одно является линейной комбинацией двух других, так как определитель (3.3.9) системы равен нулю. Далее вычислим определители

По крайней мере, один из них будет отличен от нуля. Пусть Тогда компоненты соответствующего главного вектора найдем из системы уравнений

Для ее решения из первых двух уравнений выразим через и подставим их в третье уравнение. В результате получим Далее из первых двух уравнений найдем Вектор соответствует А.

Пусть два из трех корней характеристического уравнения равны между собой, например, . В этом случае базисный вектор может быть найден описанным выше способом. Другими базисными векторами могут служить любые два ортогональные друг другу и вектору орта, так как поверхность второго порядка будет поверхностью вращения.

Если то поверхность второго порядка будет являться сферой (или мнимой сферой). Базисными векторами ее главной центральной системы координат могут служить любые три взаимно ортогональные орта.

В главной центральной системе координат уравнение поверхности (3.3.1) примет вид

(3.3.12)

если и, следовательно, все корни характеристического уравнения отличны от нуля, или

(3.3.13)

если следовательно, хотя бы один из корней характеристического уравнения равен нулю (штрих около новых координат опущен). Если , то каноническое уравнение поверхности имеет симметричный вид и у поверхности есть центральная точка (эллипсоид и гиперболоиды). В противном случае поверхность не имеет центра (параболоиды).

Перенумеруем корни характеристического уравнения так, чтобы По корням характеристического уравнения определяются параметры поверхностей второго порядка.

Если то, сравнив (3.3.12) с (3.2.5), найдем полуоси эллипсоида (3.2.4) по формулам

Если сравнив (3.3.12) с (3.2.7), найдем действительные и мнимую полуоси однополостного гиперболоида (3.2.6) по формулам

Если то сравнив (3.3.12) с (3.2.9), найдем действительную и мнимые полуоси двуполостного гиперболоида (3.2.8) по формулам

Если то, сравнив (3.3.13) с (3.2.11), найдем полуоси эллиптического параболоида (3.2.10) по формулам

(3-317)

Если то, сравнив (3.3.13) с (3.2.15), найдем действительную и мнимую полуоси гиперболического параболоида (3.2.13) по формулам

Если то уравнение (3.3.1) описывает мнимый эллипсоид.

Коническая поверхность является вырожденным случаем гиперболоида. Она представляет собой предельный случай, к которому стремятся однополостный и двуполостный гиперболоиды. Цилиндрическая поверхность является вырожденным случаем эллиптического и гиперболического параболоидов. Характеристики вырожденных случаев поверхностей можно найти по общим формулам.

Приведенные формулы позволяют строить параметрические зависимости для поверхностей второго порядка по их координатным уравнениям. Для перехода от параметрического описания к неявному описанию нужно знать каноническое уравнение которым связаны координатные функции поверхности. Местные координаты х, у, z связаны с глобальными координатами уравнениями (1.2.8), которые в принятых здесь обозначениях имеют вид

(3.3.19)

Для получения уравнения связывающего глобальные координаты, подставим в уравнение выражения (3.3.19) для канонических координат,

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление