Главная > Математика > Геометрическое моделирование
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

5.4. Ориентируемость оболочек

Для многих замкнутых оболочек одну из сторон можно определить как внутреннюю, а другую — как наружную. Для точек оболочек вводится такое топологическое понятие как ориентируемость. Представим, что вокруг всякой точки оболочки проведена окружность достаточно малого радиуса, расположенная на поверхности оболочки. Для каждой окружности определим такое направление обхода, что достаточно близкие точки всегда будут обходиться в одном и том же направлении. Если для некоторой оболочки это можно сделать, то такая оболочка называется ориентируемой. Существуют оболочки, для которых нельзя ввести единое направление обхода для окружностей близких точек. Такие оболочки называются неориентируемыми.

Лист Мёбиуса.

Примером неориентируемой оболочки является лист Мёбиуса, показанный на рис. 5.4.1. Лист Мёбиуса можно получить, взяв бумажную полосу и склеив дальние края, повернув предварительно их друг относительно друга на 180°. До склеивания краев полосы ее стороны можно покрасить двумя разными цветами. Если покраску проводить после склеивания, то окажется, что мы окрасим одним цветом обе стороны. При движении по листу Мёбиуса мы пройдем по обеим его сторонам.

Для точек листа Мёбиуса нельзя определить ориентацию. Действительно, задав для малой окружности некоторой точки ориентацию и двигаясь по оболочке, мы попадем в исходную точку, но с противоположным направлением. Результатом этого является невозможность окрасить разные стороны оболочки в разные цвета. У оболочки всего одна сторона. Лист Мёбиуса является односторонней оболочкой. Если оболочка является односторонней, то она не ориентируема. Справедливо и утверждение, что если оболочка является двусторонней, то она ориентируема.

Оболочка тогда и только тогда неориентируема, когда на ней можно построить такую замкнутую кривую s, что при движении вдоль этой кривой достаточно малой ориентированной окружности она придет в исходную точку ориентированной в противоположном направлении.

Рис. 5.4.1. Лист Мёбиуса — односторонняя незамкнутая оболочка

Рис. 5.4.2. Ориентируемая самопересекающаяся незамкнутая оболочка

Если двигаться вдоль кривой s на односторонней оболочке по одну сторону от этой кривой, то можно оказаться по другую сторону кривой, хотя при движении кривая не пересекалась.

Лист Мёбиуса является незамкнутой оболочкой. Существуют замкнутые односторонние оболочки. Односторонняя оболочка не может разбить пространство на внутреннюю и внешнюю части, поэтому односторонняя замкнутая оболочка всегда пересекает сама себя. Однако не всякая самопересекающаяся оболочка является односторонней. Оболочка, показанная на рис. 5.4.2, самопересекающаяся, но не односторонняя.

Бутылка Клейна.

Примером замкнутой односторонней оболочки является бутылка Клейна, которая показана на рис. 5.4.3. Бутылка Клейна имеет одну замкнутую линию самопересечения.

Рис. 5.4.3. Бутылка Клейна — односторонняя замкнутая оболочка

Она не может служить сосудом. Связность бутылки Клейна равна трем. Система линии, разрезающих бутылку Клейна на две односвязные части, аналогична системе линий тора.

Если бутылку Клейна разрезать плоскостью ее симметрии, то получим две незамкнутые самопересекающиеся оболочки, из которых путем деформирования можно получить два листа Мёбиуса.

Гептаэдр.

Еще одной односторонней оболочкой является гептаэдр. Его можно получить из октаэдра. Для этого удалим четыре грани из восьми: на верхней части октаэдра — левую переднюю и правую заднюю, а на нижней части — правую переднюю и левую заднюю грани, и добавим три квадратные взаимно ортогональные грани, построенные на диагоналях октаэдра. Грани гептаэдра по отдельности приведены на рис. 5.4.4. Оболочка гептаэдра состоит из семи граней. Ребра и вершины гептаэдра совпадают с ребрами и вершинами октаэдра (диагонали не считаются ребрами, а являются линиями самопересечения оболочки). В каждом ребре гептаэдра стыкуются только две грани. Гептаэдр является замкнутой односторонней оболочкой четной связности. Он показан на рис. 5.4.5.

Если мы начнем движение по поверхности гептаэдра из точки А, то, двигаясь по указанной на рис. 5.4.5 траектории, попадем в точку В, расположенную на другой стороне поверхности.

Таким образом, кроме связности оболочки характеризуются еще и ориентируемостью. Тор и бутылка Клейна обладают одинаковой связностью, обе замкнутые оболочки, но тор является ориентируемой оболочкой, а бутылка Клейна — неориентируемой.

Рис. 5.4.4. Четыре грани октаэдра (а), грани на диагоналях октаэдра (б)

Известно еще несколько неориентируемых оболочек. Замкнутые неориентируемые оболочки пересекают сами себя, и поэтому не могут быть использованы для моделирования деталей.

Рис. 5.4.5. Гептаэдр (семигранник) — самопересекающаяся односторонняя оболочка

Оболочки, с которыми мы сталкиваемся в реальности, являются ориентируемыми. Тем не менее, неориентируемые оболочки с математической точки зрения равноправны с ориентируемыми оболочками.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление