Главная > Математика > Геометрическое моделирование
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

5.5. Оболочки для моделирования тел

Рассмотрим взаимно однозначное и непрерывное отображение одной оболочки на другую. При этом отображении соседние точки остаются соседними. Такое отображение может искажать оболочку, но при этом связанные части останутся связанными. Одним из видов отображения является деформация. При деформации топологический объект как целое непрерывно переходит сам в себя. Движение оболочки в пространстве является частным случаем деформации, тогда как зеркальное отражение оболочки относительно плоскости не является деформацией. При зеркальном отражении изменяется на обратное направление обхода всякой замкнутой кривой на оболочке, тогда как деформация сохраняет направление обхода неизменным.

Все многообразие оболочек можно классифицировать с топологической точки зрения. К одному и тому же типу относятся оболочки, которые топологически могут быть непрерывно и взаимно однозначно отображены одна на другую. Для этого должны быть выполнены следующие три условия:

1) оболочки должны иметь одинаковую связность;

2) оболочки должны быть либо ориентируемы, либо неориентируемъц

3) оболочки должны быть либо замкнуты, либо должны иметь одинаковое число границ.

Эти три необходимых условия непрерьюного и взаимно однозначного отображения двух оболочек также являются и достаточными условиями.

Естественно, что оболочки, имеющие разное число границ, не могут быть отображены одна на другую.

Связность обусловливает существование системы разрезов оболочки, которая при топологическом отображении переходит в систему разрезов такой же структуры на другой оболочке. Следовательно, оболочки различной связности не могут быть отображены одна на другую.

Можно доказать, что всякая оболочка, которая может быть отображена на ориентируемую оболочку, также является ориентируемой. Это определяет третье условие принадлежности оболочек к одному типу.

Оболочки, имеющие одинаковую связность, ориентируемость и число границ, являются топологически эквивалентными.

Формула Эйлера-Пуанкаре.

Замкнутые, ориентируемые и не пересекающие сами себя оболочки имеют нечетную связность. Для таких оболочек эйлерова характеристика Н связана с ее связностью h соотношением

(5.5.1)

Используя это соотношение, получим формулу, связывающую число граней F, число циклов L, число ребер Е и число вершин V оболочки с ее связностью

(5.5.2)

Данная запись формулы Эйлера справедлива для замкнутых оболочек.

Связность не достаточно удобна для характеристики замкнутой оболочки. Введем еще одно понятие, которым можно заменить связность. Из тора путем его деформирования можно получить оболочку, по форме напоминающую гирю, которую будем называть сферой с ручкой. В общем случае любой замкнутой оболочке путем деформирования можно придать форму сферы с G ручками. Так, если взять толстую плиту, пробить в ней G отверстий и скруглить все ребра, то получим объект, оболочка которого топологически эквивалентна сфере с G ручками. На оболочке, топологически эквивалентной сфере с G ручками, можно провести замкнутых кривых линий, по которым она раскраивается в простейшую оболочку. Любая следующая замкнутая линия разрежет оболочку на две простейшие оболочки. Сфера с G ручками имеет связность . Оболочка реальной детали топологически эквивалентна сфере с некоторым числом ручек. На рис. 5.5.1 приведена сфера с четырьмя ручками.

Рис. 5.5.1. Сфера с четырьмя ручками

Более наглядной, чем связность, характеристикой топологии оболочки может служить число ручек G сферы, к которой путем деформирования можно привести замкнутую оболочку. Примем во внимание, что сфера с G ручками имеет связность и получим формулу, связывающую число граней F, ребер Е, вершин V и циклов L с характерной величиной

(5.5.3)

Данная формула называется формулой Эйлера-Пуанкаре. Величина G (genus) характеризует топологический тип оболочки. Формула Эйлера-Пуанкаре позволяет определить топологический тип оболочки, если известно число ее граней, ребер, вершин и циклов:

(5.5.4)

Реальные объекты могут иметь внутри пустоты. В этом случае объекты будут описываться несколькими оболочками. Одна из этих оболочек является внешней, остальные оболочки лежат внутри нее. Если моделируемый объект имеет пустот, то он будет описываться оболочками. Потребуем, чтобы внутренние оболочки не пересекали друг друга и внешнюю оболочку. Для каждой оболочки справедлива формула (5.5.3), а для объекта с S замкнутыми оболочками формула Эйлера-Пуанкаре (5.5.3) примет вид

(5.5.5)

где F — общее число граней модели, Е — общее число ребер модели, V — общее число вершин модели, L — общее число циклов модели, S — общее число оболочек моделируемого объекта, G — топологический тип моделируемого объекта, равный общему числу ручек всех описывающих его оболочек. Таким образом, топологически эквивалентными объектами будут являться два объекта, у которых равно число описывающих их оболочек и соответствующие внешние и внутренние оболочки имеют одинаковый топологический тип.

Если оболочка не является замкнутой, то говорить о ее топологическом типе G не имеет смысла. Для незамкнутой ориентируемой оболочки формула Эйлера имеет вид

(5.5.6)

Однородные оболочки.

Для моделирования деталей подходят замкнутые двусторонние не пересекающие сами себя оболочки. К ним относятся оболочки, топологически эквивалентные сфере с G ручками. Именно такие замкнутые оболочки мы и будем использовать для геометрического моделирования. К вершинам, ребрам, циклам и граням предъявим следующие требования. Грани не должны пересекать сами себя. Грани стыкуются только по ребрам, причем в каждом ребре стыкуются только две грани. Оболочка, приведенная на рис. 5.5.2, некорректна, так как в ребре АВ стыкуются четыре грани.

Такая оболочка топологически должна быть представлена одним из способов, приведенных на рис. 5.5.3 и 5.5.4. Ребра стыкуются только в вершинах. В каждой вершине может стыковаться любое конечное число ребер.

Каждую вершину можно обойти по поверхности оболочки, но при этом мы должны пересечь все стыкующиеся в вершине ребра и посетить все примыкающие к вершине грани. Такие вершины будем называть простыми.

Рис. 5.5.2. В каждом ребре должны пересекаться только две грани

Оболочка, приведенная на рис. 5.5.5, также некорректна, так как вершину А можно обойти по поверхностям граней, не пересекая всех стыкующихся в ней ребер. Такая оболочка топологически должна быть представлена способом, приведенным на рис. 5.5.6.

Рис. 5.5.3. Корректная оболочка

Рис. 5.5.4. Корректная оболочка

Таким образом, для моделирования мы будем использовать оболочки, вершины которых являются простыми, грани пересекаются по ребрам, причем в каждом ребре стыкуются только две грани.

Рис. 5.5.5. Некорректная оболочка

Рис. 5.5.6. Корректная оболочка

Такие оболочки будем называть однородными. У однородных оболочек все топологические элементы построены по единым правилам.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление