Главная > Математика > Геометрическое моделирование
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

5.3. Связность оболочек

Исследуем топологические свойства оболочек. Эти свойства не зависят от количественных характеристик (объема, площади поверхности и т.п.). Не будем обращать внимания на ребра и вершины, а будем воспринимать оболочку как единое целое. Представим, что оболочка выполнена из легко деформируемого неразрываемого и не склеиваемого материала. Мы можем изменить форму оболочки, но до определенных пределов. Например, если оболочка имеет форму шара, то ей можно придать ему форму куба или тарелки, но нельзя придать ему форму тора или кувшина с ручкой. Данный факт является отражением того, что упомянутые шар, куб и тарелка имеют одинаковую топологию, которая отличается от топологии тора и кувшина с ручкой. Топологической характеристикой описанного свойства оболочек является связность. В приведенном примере оболочки с формой шара, куба или тарелки, имеют одну и ту же связность, которая отлична от связности оболочки с формой тора или кувшина с ручкой. Так как топология характеризует непрерывную связь точек объектов, то для определения топологических свойств следует изучить поведение топологических объектов при разделении их на части.

Связность — это топологическое понятие, характеризующее целостность некоторого объекта. С другой стороны связность отражает возможность разделить некоторый топологический объект на отдельные части. Простейшей является незамкнутая оболочка с одной границей (одним циклом) топологически эквивалентная кругу. Если представить, что оболочки выполнены из легко деформируемого материала, то простейшей является оболочка, которой путем деформирования можно придать плоскую форму с границей в виде окружности.

Прямоугольная, эллиптическая, любая плоская оболочка с одной границей является простейшей. Рассмотрим вопрос: какое минимальное число линий можно провести на поверхности оболочки, чтобы по этим линиям ее можно было бы разрезать на две простейшие? Простейшая оболочка делится на две отдельные части любой линией, проведенной от одной точки границы до другой. Простейшей оболочке приписывается связность равная единице. Ее называют односвязной.

Рассмотрим незамкнутые оболочки, имеющие конечное число циклов (границ), которые путем деформирования без склеивания и наложений можно сделать плоскими. На рис. 5.3.1 приведены примеры плоских оболочек с различным числом циклов.

Рис. 5.3.1. Плоские оболочки различной связности

Если плоская оболочка имеет L циклов (один внешний и внутренних), то на ней можно провести линий, не разрезающих оболочку на две отдельные части (например, от внешнего цикла к каждому внутреннему циклу). Любая следующая линия, начинающаяся и оканчивающаяся на границе оболочки, разрежет ее на две части. Плоская оболочка с вырезами обладает дополнительными связями, которые мы режем, а оболочка не теряет свою целостность. Целостность оболочки заключается в том, что из некоторой ее точки, двигаясь по ее поверхности, можно попасть в любую другую ее точку. Плоской оболочке с L циклами припишем связность равную

Связность оболочки определим минимальным числом линий, по которым ее можно разрезать на две простейшие оболочки (на две отдельные части). Если связность оболочки равна h, то разрезов достаточно, чтобы ими раскроить оболочку, превратив ее в простейшую. Связность обозначим через

Рассмотрим замкнутые оболочки. На оболочке как на поверхности можно свободно строить кривые линии. Предположим, что мы можем резать оболочку по кривым на ней. Если оболочка имеет топологию сферы, то по любой замкнутой кривой на ее поверхности оболочку можно разрезать на две отдельные части, представляющие собой односвязные оболочки. Если оболочка имеет топологию тора, то для раскроя ее в односвязную грань, потребуется, как минимум, две замкнутые кривые на ней. Способ раскроя тороидальной оболочки показан на рис. 5.3.2.

Используя определение, получим, что связность сферы равна единице, а связность тора равна трем.

На замкнутой оболочке связности h можно построить замкнутых кривых, которые не нарушают ее целостности (которые не разрезают ее на отдельные части), но нельзя построить h таких кривых.

Рис. 5.3.2. Раскрой тороидальной оболочки

Рис. 5.3.3. Раскрой цилиндрической оболочки

Для того, чтобы замкнутую оболочку связности раскроить в односвязную оболочку, ее нужно разрезать по замкнутым линиям. Эти линии не разрезают оболочку на две отдельные части, но любая совокупность, состоящая из h замкнутых кривых на оболочке, обязательно разрезает оболочку на две части.

Рассмотренные замкнутые оболочки имеют нечетную связность. Существуют оболочки четной связности. Четную связность могут иметь незамкнутые оболочки. Например, цилиндрическая оболочка конечной длины имеет связность равную двум. Действительно, линия, проходящая от одной границы до другой, не разрезает цилиндрическую оболочку на отдельные части, а только раскраивает ее в односвязную оболочку (рис 5.3.3). Любая другая линия, проходящая от одной границы до другой, разрежет цилиндрическую оболочку на части.

На рис. 5.3.4 показаны незамкнутые оболочки, полученные из замкнутых оболочек, если в последних сделать отверстия. Если в замкнутой оболочке связности h выполнить одно отверстие с одной замкнутой границей, то связность полученной незамкнутой оболочки будет равна связности исходной замкнутой оболочки. Каждое последующее отверстие с одной замкнутой границей будет увеличивать связность полученной оболочки на единицу. Связность приведенных на рис. 5.3.4 незамкнутых оболочек соответственно равна 1, 4, 3, 6.

Рис. 5.3.4. Незамкнутые оболочки

Система разрезов на этих оболочках строится аналогично системе разрезов на соответствующей замкнутой оболочке, только часть линий проводится от одной границы к другой границе.

Связность не является единственной характеристикой оболочки. Две оболочки могут иметь одинаковую связность, но быть топологически различными. Кроме связности оболочка характеризуются ориентируемостью.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление