Главная > Математика > Геометрическое моделирование
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Глава 7. ВАРИАЦИОННЫЕ СВЯЗИ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ

7.1. Наложение вариационных связей

В данной главе мы рассмотрим один из эффективных способов управления геометрическими объектами. Каждый геометрический объект имеет свою структуру данных. Структура данных вместе с набором необходимых объекту функций представляет собой численную модель геометрического объекта. Скалярные величины, компоненты векторов, координаты точек, лежащие в структуре данных геометрического объекта, которые подлежат редактированию, будем называть параметрами этого объекта. Именно через эти параметры мы и будем осуществлять управление геометрическими объектами.

До сих пор геометрические объекты строились и существовали независимо друг от друга, т. е. редактирование одного из объектов не сказывалось на остальных объектах. Редактирование объекта сводится к изменению численных значений его параметров. Независимость геометрических объектов отражает тот факт, что значения параметров одного объекта не зависят от значений параметров других объектов. С практической точки зрения наложение зависимостей на параметры геометрических объектов является очень полезным.

Рис. 7.1.1. Вариационные связи геометрических объектов

На рис. 7.1.1 приведен пример наложения зависимостей на две окружности и замкнутую ломаную линию на плоскости.

Зависимость геометрических объектов заключается в том, что окружности должны касаться друг друга, ломаная должна представлять собой прямоугольник, диаметры d и D окружностей связаны заданным коэффициентом к, центры окружностей должны отстоять на заданных расстояниях а и b от сторон прямоугольника, размер горизонтальной стороны прямоугольника должен быть равен с. Перечисленные связи представлены размерами и алгебраическими уравнениями, приведенными на рис. 7.1.1. Эскиз автоматически перестраивается при изменении одной или нескольких зависимостей. На рис. 7.1.2 приведены те же геометрические объекты при другом отношении диаметров окружностей.

Рис. 7.1.2. Результат изменения одной из связей геометрических объектов

Изменение коэффициента отношения диаметров к привело к изменению размера вертикальной стороны прямоугольника, изменению диаметра и положения центра большей окружности. Все заданные уравнения при новом коэффициенте к также выполняются. Аналогично могут быть изменены и другие размеры и уравнения, что приведет к автоматическому перестроению геометрических объектов.

Наложение связей облегчает труд при проектировании нескольких однотипных деталей и при сборке различных деталей. Достигается это путем установления определенных зависимостей между параметрами геометрических объектов. Эти зависимости представляют собой некоторые уравнения

относительно параметров объектов.

Будем называть связывающие параметры уравнения вариационными связями. Кроме координат точек, компонент векторов, скалярных величин из структуры данных геометрических объектов параметрами могут служить дополнительные скалярные величины и координаты точек. Они могут существовать отдельно или могут быть введены в структуру данных геометрических объектов для удобства управления объектами посредством вариационных связей. Для наложения вариационных связей нужно, чтобы геометрические объекты предоставляли свои параметры «во внешнее пользование» и перестраивались по измененным параметрам. Вариационными связями в общем случае могут служить любые алгебраические уравнения. Естественно, что каждой геометрической задаче соответствует определенное уравнение (или несколько уравнений) для определенных параметров.

Управление геометрическими объектами с помощью вариационных связей осуществляется следующим образом. Пусть задан набор вариационных связей. Каждая связь накладывает одно или несколько уравнений на определенные параметры геометрических объектов. Связями формируется система уравнений относительно участвующих в связях параметров. Пусть в исходном состоянии параметры удовлетворяют этой системе уравнений. Предположим, что мы изменили некоторую константу в уравнении связи (например, изменили значение размера) или изменили некоторые параметры геометрического объекта (например, переместили объект) и зафиксировали их. Чтобы после этого система уравнений связей удовлетворялась, необходимо изменить остальные параметры. Для этого мы должны решить систему уравнений связей и определить новые значения параметров. О результатах решения следует сообщить геометрическим объектам. Они должны перестроиться в соответствии с этим решением (в соответствии с новыми значениями своих данных). Так как уравнения в общем случае являются нелинейными, то их решение осуществляется итерационным методом. Объекты должны перестраиваться на каждой итерации решения, так как одни параметры объекта могут влиять на другие параметры этого же геометрического объекта. Уравнения будут изменять значения параметров, а объекты — перестраиваться в соответствии с новыми значениями параметров. Когда все уравнения системы будут удовлетворены с требуемой точностью, объекты будут перестроены соответствующим образом. Если систему уравнений удовлетворить нельзя, то всем параметрам присваиваются первоначальные значения. На практике часто приходится иметь дело с системой уравнений, содержащей большее число параметров, чем число уравнений. В последнем случае мы воспользуемся некоторым критерием, определяющим поведение всей системы параметров, и с помощью этого критерия сформируем систему уравнений для определения всех параметров.

Дополним вариационные связи информацией связываемых ими геометрических объектах, а также функциями общения с объектами и системой уравнений. В результате вариационные связи можно будет называть вариационными объектами. Они несут и обрабатывают геометрическую информацию. Как и геометрические объекты, вариационные объекты имеют свою структуру данных и свой набор функций. Состав структуры данных и функций определяется выполняемыми связями задачами. Каждый вариационный объект отвечает за то, чтобы заданные параметры удовлетворяли заданным уравнениям. В структуре данных вариационного объекта должны находиться: информация о связываемых им варьируемых параметрах, исходные значения параметров, информация об уравнениях связи (одном или нескольких).

В набор функций вариационных объектов должны войти функции, предоставляющие и изменяющие необходимую информацию о варьируемых параметрах, функции, предоставляющие информацию об уравнениях связей, функции, изменяющие параметры в процессе решения и после удовлетворения уравнений всех связей, функции восстановления исходного состояния параметров в случае неудачи в процессе решения.

Сначала мы рассмотрим отдельные вариационные связи и их уравнения. Далее введем критерий поведения геометрических объектов, позволяющий сформировать систему уравнений, в которой варьируемые параметры обладают равноправием при любом их числе. Этот критерий в общем случае требует привлечение методов вариационного исчисления. На примере использования критерия поведения геометрических объектов мы рассмотрим вариационные связи двухмерных объектов.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление