Главная > Математика > Геометрическое моделирование
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

7.7. Условный экстремум функции изменения параметров

Пусть имеется некоторая совокупность вариационных связей, наложенных на параметров геометрических объектов. Пусть эта совокупность связей накладывает уравнений

на параметры объектов. Связи фиксации здесь учитывать не будем. Фиксированные параметры в процессе решения не изменяются, поэтому в других уравнениях связей они не варьируются и считаются константами. Если то все параметры могут быть найдены путем решения системы уравнений вариационных связей. Если , то для определения параметров нужно составить систему уравнений, в которой число определяемых параметров было бы равно числу уравнений, и среди уравнений содержались бы уравнения (7.7.1). Систему уравнений получим из требования экстремума некоторой функции параметров, несущей определенный геометрический смысл. Это требование является критерием поведения параметров связей. Для вариационных связей, управляющих координатами точек и размерными параметрами, критерием поведения нам будет служить требование минимума суммы квадратов изменений варьируемых параметров, т. е. минимума функции

где — исходные значения варьируемых параметров.

На примере линейного размера выше было показано применение этого критерия совместно с методом неопределенных множителей Лагранжа.

Рассмотрим теоретические основы использованного выше метода неопределенных множителей Лагранжа для нахождения условного минимума или максимума действительной функции нескольких переменных параметров.

Экстремум функции.

Пусть некоторое требование, предъявленное к варьируемым параметрам , определяется экстремумом функции

(7.7.2)

По определению действительная функция (7.7.2) в точке (конкретную совокупность параметров будем называть точкой) имеет минимум (максимум), если существует такое положительное число S, что при любых удовлетворяющих неравенствам

приращение функции

(7.7.3)

соответственно больше (меньше) нуля. Будем считать, что функция в окрестности экстремума имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Разложим в ряд Тейлора в окрестности точки первое слагаемое правой части (7.7.3) и получим

где — слагаемые третьего порядка относительно . Слагаемые первого и второго порядка относительно в (7.7.4) составляют первый и второй дифференциалы функции . Дифференцируемая функция в точке имеет минимум или максимум лишь в том случае, когда ее первый дифференциал обращается в этой точке в нуль

(7.7.5)

Для этого необходимо выполнение равенств

(7.7.6)

при . Выполнение равенств (7.7.6) является необходимым условием экстремума. Достаточным условием экстремума функции является знакоопределенность второго дифференциала

(7.7.7)

при . Если второй дифференциал (7.7.7) представляет собой положительно определенную квадратичную форму, то функция в рассматриваемой точке имеет локальный минимум. Если второй дифференциал (7.7.7) есть отрицательно определенная квадратичная форма, то функция в рассматриваемой точке имеет локальный максимум.

Если второй дифференциал (7.7.7) не является знакоопределенной квадратичной формой, то функция в рассматриваемой точке не достигает экстремума.

Условный экстремум функции.

Все сказанное об экстремуме функции (7.7.2) справедливо при отсутствии условий (7.7.1). Нас интересует минимум функции (7.7.2), аргументы которой удовлетворяют уравнениям связей (7.7.1). Будем говорить, что действительная функция (7.7.2) в точке имеет условный минимум (условный максимум), если существует такая окрестность этой точки, в пределах которой значение функции в точке является наименьшим (наибольшим) среди ее значений во всех точках окрестности, удовлетворяющих уравнениям связей (7.7.1).

Если уравнения (7.7.1) позволяют выразить любые параметров через остальные в виде функций, например,

то задача об условном экстремуме сведется к задача об обычном экстремуме функции. Для этого подставим равенства (7.7.8) в (7.7.2) и найдем безусловный экстремум функции

(7-7-9)

зависящей от параметров

Установим необходимые условия существования условного экстремума функции когда невозможно получить выражения (7.7.8). В точке условного экстремума должен быть равен нулю первый дифференциал функции (7.7.5). Но при наличии условий (7.7.1) не все дифференциалы параметров являются независимыми. Дифференциалы параметров в точке условного экстремума связаны уравнениями

Действительно, если точки удовлетворяют уравнениям связей, то в пределе разность уравнений (7.7.1) для этих точек даст уравнения (7.7.10). Из системы уравнений (7.7.10) найдем любые дифференциалов, пусть это будут Для этого необходимо, чтобы якобиан системы уравнений связей был отличен от нуля. Найденные дифференциалы подставим в первый дифференциал функции (7.7.5) и получим

(7.7.11)

Дифференциалы являются независимыми переменными выражения (7.7.11), поэтому равенство нулю первого дифференциала (7.7.11) возможно, когда выполняются равенства

(7.7.12)

Уравнения (7.7.12) совместно с уравнениями связей (7.7.1) представляют собой необходимое условие условного экстремума функции (7.7.2).

Метод множителей Лагранжа.

В описанном выше методе отыскания условного экстремума функции параметры не являлись равноправными. Часть из них мы должны были выразить через остальные параметры. В результате система уравнений для определения условного экстремума являлась несимметричной относительно параметров. Лагранжем предложен метод, который делает параметры равноправными, а уравнения симметричными относительно параметров. Умножим равенства (7.7.10) на неопределенные пока постоянные множители и добавим к равенству (7.7.5). В результате получим равенство

(7.7.13)

где

(7.7.14)

Функция F называется функцией Лагранжа. Так как параметры связаны уравнениями связей, то их дифференциалы в (7.7.13) не являются независимыми. Будем считать, что первые параметров зависят через уравнения связей от остальных параметров. Параметры будем считать независимыми. Множители выберем так, чтобы выполнялись равенства

Это можно сделать, решив систему уравнений

(7.7.16)

относительно множителей . Как уже было сказано, определитель матрицы этой системы линейных алгебраических уравнений должен быть отличен от нуля. При выполнении равенств (7.7.15) для выполнения равенства (7.7.13) требуется, чтобы

(7.7.17)

Объединив равенства (7.7.15), (7.7.17) и уравнения связи (7.7.1), придем к тому, что в точке условного экстремума функции (7.7.2) должны выполняться равенств

Эта система уравнений позволяет определить параметры условного экстремума функции и множители Лагранжа. Мы видим, что поиск условного экстремума функции привел к уравнениям безусловного экстремума функции Лагранжа F. Практически метод Лагранжа реализуется следующим образом. Составляется функция Лагранжа (7.7.14) и для нее находят возможные точки безусловного экстремума. Для исключения множителей привлекаются уравнения связей.

Найденное из системы уравнений (7.7.18) решение может не являться точкой экстремума. В точке условного минимума (условного максимума) функции должны выполняться достаточные условия. При наличии связей экстремумы функций и F совпадают. Тогда из вышеизложенного следует, что для получения достаточного условия условного экстремума функции к уравнениям (7.7.18) нужно добавить требование знакоопределенности

В функции Лагранжа все параметры можно рассматривать как независимые, если считать, что множители определены из уравнений (7.7.16).

В методе Лагранжа все параметры равноправны, а система уравнений (7.7.18) является симметричной относительно параметров. Кроме того, все необходимые уравнения получены из единого требования к поведению параметров. Платой за эту симметрию является увеличение числа неизвестных из-за введения неопределенных множителей.

Функция формулирует критерий поведения варьируемых параметров при их переходе из начального состояния в конечное состояние, если изменены константы уравнений связей или сами уравнения. Принятый нами критерий в форме минимума функции

(7.7.20)

где — начальные значения варьируемых параметров, предъявляет требование наименьшего суммарного изменения параметров, участвующих в связях. Конечные значения параметров должны быть найдены из системы уравнений (7.7.18).

Система уравнений (7.7.18) при использовании критерия (7.7.20) примет вид

(7.7.21)

Критерий (7.7.20) будем использовать при наложении вариационных связей на координаты точек и на любые другие параметры геометрических объектов.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление