Главная > Математика > Геометрическое моделирование
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

4.13. Точность вьшолнения операций

Для описания кривых линий и поверхностей мы используем параметрическое представление. Геометрические объекты построены так, что они выдают необходимую геометрическую информацию для заданных параметров. Поэтому поиск некоторого решения заключается в поиске соответствующих ему параметров. Если известны параметры, то можно считать, что известно все остальное. Параметры решения не изменяются при одновременном перемещении, повороте или трансформировании взаимодействующих геометрических объектов.

В итерационных методах выполнения операций параметры геометрических объектов мы находим с некоторой точностью . Мы заканчиваем процесс уточнения параметров, когда на очередной итерации изменение каждого параметра по абсолютной величине становится меньше На самом деле, точность решения ниже величины . В близи точек касания решение сходится очень медленно, а в самих точках касания решение может расходиться. Значение некоторого параметра на последней итерации отличается от искомого точного значения на величину которая в несколько десятков или сотен раз может быть больше величины . В то же время, величина не должна превосходить где — число точных чисел в мантиссе представления параметров. Общее количество значащих цифр в мантиссе представления действительных чисел в памяти компьютера является отправной точкой для определения максимальной точности, которую можно достичь численными методами.

Пусть мы определились с величиной , которую назовем заданной точностью. Две точки геометрического объекта мы будем считать совпадающими, если соответствующие им параметры отличаются меньше, чем на величину . Кроме величины нам потребуется точностью выполнения операций — величина , которая связана с величиной и должна быть меньше нее .

Там, где это возможно, операции следует выполнять без привлечения численных методов. В этих случаях точность выполнения операций будет зависеть от точности диагностики частных случаев. Например, при пересечении цилиндрической поверхности с ортогональной ее оси плоскостью точность построения линии пересечения будет определяться точностью, при которой вектор нормали плоскости и ось цилиндра считаются параллельными. Два вектора можно считать параллельными, если длина их векторного произведения меньше некоторой величины. Если по результатам проверки векторов на параллельность мы будем выполнять операцию, то проверка должна выполняться с участием точности выполнения операций е. Если проверка выполняется для других целей, то она должна выполняться с участием точности .

Возникает вопрос, каким образом с помощью величин , связанных с параметрами, оценить близость точек или векторов в пространстве? Для ответа на этот вопрос нам придется привлечь некоторый геометрический размер модели. В качестве такого геометрического размера можно взять диагональ d габаритного куба модели. Предположим, что параметрическая длина некоторой кривой или поверхности модели не меньше единицы и размеры соизмеримы с диагональю d. Тогда две точки геометрического объекта, находящиеся на параметрическом расстоянии или , в пространстве будут находиться на расстоянии, не превышающем или соответственно. Если нам известно значение параметра точки геометрического объекта, в которой параметр определен с точностью , то в пространстве эта точка будет определена с точностью . Точно так же отклонение вектора длиной d на угол или даст перемещение в пространстве, примерно равное или соответственно. Через габаритный размер d геометрические погрешности связаны с параметрическими и угловыми погрешностями .

При выполнении операций важно знать, с какой точностью они были выполнены. Мы будем пользоваться двумя величинами: . С точностью мы будем выполнять операции, а с точностью мы будем проверять величины на равенство.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление