Главная > Математика > Геометрическое моделирование
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

1.12. Ортогональные криволинейные координаты

Описание геометрии объектов в криволинейных координатах является достаточно сложным. На практике в большинстве случаев используются ортогональные криволинейные координаты. В ортогональной системе координат координатные линии различного семейства взаимно ортогональны. Взаимно ортогональны и векторы касательного базиса, так как они направлены по касательным к соответствующим координатным линиям.

В ортогональной криволинейной системе координат векторы касательного базиса и соответствующие им векторы взаимного базиса совпадают по направлению, но длина их в общем случае различна; недиагональные компоненты метрического тензора равны нулю: т. е. при

Часть символов Кристоффеля в ортогональной криволинейной системе координат равна нулю и, следовательно, многие формулы упрощаются.

Цилиндрическая система координат.

В качестве примера рассмотрим цилиндрическую систему координат. Параметрами цилиндрической системы являются полярный радиус полярный угол и вертикальная ось Цилиндрические координаты связаны с декартовыми координатами равенствами

Обратные зависимости имеют вид

Матрица Якоби перехода от декартовой прямоугольной системы координат к цилиндрической системе координат равна:

Компоненты метрического тензора в новой системе координат определяются по формуле

где — символы Кронекера (1.10.7). Цилиндрическая система координат является ортогональной, компоненты метрического тензора и отличные от нуля символы Кристоффеля в ней равны

Как можно заметить, в цилиндрических координатах длины первого и третьего векторов касательного базиса равны единице, а длина второго вектора, соответствующего полярному углу, равна .

Векторные функции в цилиндрической системе координат будем выражать с помощью векторов касательного и взаимного базисов следующим образом:

(1.12.1)

Частные производные векторов касательного базиса (1.10.14) по цилиндрическим координатам равны

Частные производные векторов взаимного базиса (1.10.25) по цилиндрическим координатам равны

Мы видим, что некоторые векторы касательного и взаимного базисов цилиндрической системы координат изменяются при переходе от одной точки пространства к другой. Все это в общем случае усложняет описание геометрических объектов, но в некоторых частных случаях использование криволинейных систем является оправданным. Формула (1.10.21) для производной векторной функции в цилиндрической системе координат имеет вид

(1.12.3)

Пример кривой.

Рассмотрим векторную функцию, описывающую один виток цилиндрической спирали в цилиндрической системе координат. Пусть ось спирали параллельна и проходит через начало координат, ее радиус равен , а шаг равен h. Опишем спираль функциями координат:

Касательная спирали в соответствии с (1.10.20) описывается векторной функцией

Производная векторной функции спирали в соответствии с формулой (1.12.3) равна

В каждой точке спирали она направлена к ее оси и имеет длину .

В дальнейшем при построении кривых линий и поверхностей мы будем использовать декартову прямоугольную систему координат, как наиболее удобную для вычисления производных векторных функций в евклидовом пространстве. При этом будем использовать нижние индексы, так как в декартовой прямоугольной системе координат ковариантные и контравариантные компоненты равны.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление