Главная > Математика > Геометрическое моделирование
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

7.9. Геодезические линии

В прямоугольной декартовой системе координат кратчайшая линия, соединяющая две точки пространства, описывается линейной функцией. Если используется криволинейная система координат, то кратчайшая линия, соединяющая две точки пространства, будет в общем случае описываться нелинейной функцией. Если пространство не является евклидовым, то эта линия не является прямой. Кратчайшая линия, соединяющая две точки пространства, называется геодезической линией. На геодезической линии величина , где — дифференциал длины дуги геодезической, принимает экстремальное значение. Уравнения геодезической линии можно найти из равенства нулю вариации ее длины дуги. Мы получим уравнения геодезической линии из равенства нулю вариации функционала

(7.9.1)

Пусть — криволинейные координаты в трехмерном пространстве. Криволинейные координаты в силу их поведения при преобразованиях координат должны иметь верхний индекс. Рассмотрим поведение точки, координаты которой являются варьируемыми параметрами связей, в криволинейной системе координат. Пусть в исходном состоянии рассматриваемая точка имела координаты . После изменения уравнений связей или констант в уравнениях связей она займет новое положение в пространстве. Проведем произвольную линию u(t) из исходного положения рассматриваемой точки в ее новое положение.

Пусть при линия проходит через исходную точку с координатами , а при линия проходит через новое положение точки. Найдем уравнения линии, для которой функционал (7.9.1) принимает минимальное значение. В декартовой прямоугольной системе координат , а функционал (7.9.1) имеет вид

В криволинейной системе координат аналогичный функционал получим, подставив (1.10.5) в (7.9.1),

где — ковариантные компоненты метрического тензора. В (7.9.2) используется соглашение о суммировании по повторяющимся верхним и нижним индексам. Пусть функции дифференцируемы требуемое число раз. Возьмем совокупность близких к ним функций , где величины называются вариациями соответствующих функций. Эти функции можно дифференцировать по параметру

Символ S обозначает переход из какой-нибудь точки искомой линии в точку некоторой другой кривой, которой соответствует то же значение параметра t. Вариация функционала (7.9.1) выражается формулой

где использовалась симметрия метрического тензора Проинтегрируем по частям вторую половину слагаемых в (7.9.3) и получим

В силу равенства нулю вариаций в концевых точках вариация функционала (7.9.1) выразится формулой

Необходимое условие экстремума функционала выражается равенством нулю его вариации. Отсюда в силу произвольности выбора следует, что функционал (7.9.1) достигает экстремума на кривых , удовлетворяющих дифференциальным уравнениям

Изменим обозначения индексов (индексы, по которым выполняется суммирование, мы имеем право обозначать любыми буквами) и преобразуем первое и второе слагаемые в левой части равенства (7.9.6) следующим образом:

где — символы Кристоффеля 1-го рода (1.10.16).

С учетом полученного вариация функционала (7.9.1) будет равна нулю при выполнении равенства

Умножив равенства (7.9.7) на выполнив суммирование и используя свойство , где — символы Кронекера (1.10.7), получим

где — символы Кристоффеля рода (1.10.19). Таким образом, геодезические линии должны удовлетворять уравнениям (7.9.8). Эти уравнения представляют собой уравнения Эйлера (7.8.8) для частного случая функционала (7.9.1), но в общем случае криволинейных координат. Геодезические линии являются кротчайшими линиями, соединяющими две заданные точки. В евклидовом пространстве кротчайшей линией является прямая линия. Если в евклидовом пространстве мы построим криволинейную систему координат то прямые линии в этой системе координат будут описываться уравнениями (7.9.8).

В частном случае декартовых прямоугольных координат и уравнениями геодезических линий являются интегралы уравнений которые совпадают с линейными функциями (7.8.26). Таким образом, если мы описываем геометрические объекты в криволинейной системе координат, то мы должны пользоваться вариационным критерием их поведения. Например, мы строим вариационные связи для двухмерных точек на поверхности, координатами которых являются параметры и и v поверхности. В этом случае для координат двухмерных точек , следует использовать вариационный критерий минимума функционала

с подвижными границами, удовлетворяющими уравнениям связей

при Необходимыми условиями минимума функционала (7.9.9) является выполнение уравнений (7.9.8) для координат точек. Точки на поверхности при изменении параметров вариационных связей будут двигаться по геодезическим линиям поверхности.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление