Главная > Математика > Геометрическое моделирование
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Глава 2. МОДЕЛИРОВАНИЕ КРИВЫХ ЛИНИЙ

2.1. Математическая модель кривых линий

В данной главе мы рассмотрим способы построения линий. Линиями можно описать отдельные геометрические свойства предметов, с помощью линий можно представить характерные черты воображаемых объектов. Кривые линии будут служить нам в качестве строительного материала для создания поверхностей и тел. В свою очередь, линии мы будем описывать с помощью скалярных величин, векторов, точек и других линий. Линии могут быть пространственными и двухмерными. Они имеют много общего. Сначала мы рассмотрим пространственные линии, а затем остановимся на отличиях двухмерных линий от них.

Пусть в пространстве задана некоторая глобальная декартова прямоугольная система координат с базисными векторами . Мы будем описывать пространственную линию векторной функцией

(2.1.1)

скалярного аргумента t, изменяющегося в пределах Компоненты радиус-вектора точки кривой являются однозначными непрерывными функциями параметра t. Такое описание линий называется параметрическим. Область изменения параметра кривой представляет собой отрезок в одномерном пространстве. Кривые могут быть замкнутыми или разомкнутыми. Для замкнутой кривой

Двухмерную линию мы будем описывать векторной функцией

(2.1.2)

Двухмерные векторы являются базисными векторами некоторой декартовой системы координат двухмерного пространства. Во многих случаях двухмерные линии аналогичны пространственным линиям.

В общем случае линию можно представить в виде системы двух уравнений, которым удовлетворяют координаты радиус-вектора точек линии. Каждое из этих уравнений можно считать уравнением поверхности, тогда система этих уравнений представит собой линию пересечения поверхностей. Если линия является плоской, то одним из уравнений может служить уравнение плоскости, а вторым — уравнение, связывающее двухмерные координаты радиус-вектора точек линии в этой плоскости. Если уравнение плоскости опустить, то мы придем к двухмерной линии, которая описывается одним уравнением. Такое описание двухмерной линии называется неявным. Описание линий уравнениями относительно ее координат в отличие от параметрического описания не всегда однозначно.

Оно также не является инвариантным относительно преобразования координат, т. е. при переходе в другую систему координат изменяются описывающие кривую линию уравнения. Неявное описание линий используется в теоретических исследованиях. При моделировании кривых линий мы будем использовать их параметрическое представление.

Для построения математической модели кривой линии нужно знать зависимость ее радиус-вектора r(t) от параметра и область изменения параметра t. Каждому типу кривой соответствует свой набор данных и свой алгоритм вычисления по ним радиус-вектора, а также своя область определения параметра кривой. При известной функциональной зависимости радиус-вектора от параметра кривой определяется вся геометрическая информация кривой. Для кривой всегда можно выполнить замену параметра и области его изменения.

Общение с математической моделью кривой происходит следующим образом. Мы обращаемся к функциям кривой с некоторым значением параметра и в качестве ответа получаем геометрическую информацию о кривой в точке, соответствующей заданному значению параметра. Различные функции кривой выдают различную информацию. Для одних функций значение параметра должно принадлежать области его определения, для других — может выходить за области определения. Если функция допускает выход значения параметра за область определения, то она должна выдавать геометрическую информацию для продолжения кривой.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление