9.3. Центральные проекции на плоскость

В параллельной проекции на плоскость каждая точка геометрического объекта проецируется на заданную плоскость вдоль одного и того же направления независимо от положения точки в пространстве. Если размеры объекта соизмеримы с расстоянием до объекта, то параллельная проекция объекта будет отличаться его фотоизображения. Вид также будет отличаться и от фотографии объекта. Это происходит потому, что изображение на сетчатке глаза и на фотографии получено не с помощью параллельной проекции. Реальное изображение близко к центральной проекции объекта на плоскость. Центральные проекции называют также перспективными изображениями. При графическом отображении геометрической модели центральные проекции дают более реалистичную картину, чем параллельные проекции. Центральная проекция представляет собой выполненную по определенным правилам проекцию модели объекта на плоскость и также как и параллельная проекция является плоским объектом и строится с помощью двухмерных линий.

Пусть требуется построить центральную проекцию геометрических объектов на плоскость, которая определяется точкой q и двумя взаимно ортогональными векторами единичной длины Свяжем с проекционной плоскостью местную систему координат . Пусть начальная точка q местной системы координат в глобальной системе координат описывается радиус-вектором а орты местной системы координат в глобальной системе координат описываются векторами

Для построения центральной проекции на плоскость требуется знать еще точку пространства, из которой ведется наблюдение. Эту точку будем называть точкой наблюдения (точка наблюдения для параллельной проекции находится в бесконечности в положительном направлении нормали к проекционной плоскости). Пусть точкой наблюдения является точка W. Проекцию точки W на проекционную плоскость обозначим через F.

Рис. 9.3.1. Построение центральной проекции

Рис. 9.3.2. Центральная проекция объекта

На рис. 9.3.1 приведены местная система координат, точка наблюдения и центральные проекции ребер прямого параллелепипеда. На рис. 9.3.2 приведены центральные проекции ребер прямого параллелепипеда на плоскости. Если провести плоскость через точку наблюдения, параллельную плоскости проекции, то проецируемый объект должен полностью лежать в той же части пространства, что и плоскость проекции.

Проекция точки.

Рассмотрим построение центральной проекции одной из вершин прямого параллелепипеда на плоскость (9.2.1). На рис. 9.3.3 рассматриваемая точка обозначена через R, а ее центральная проекция обозначена через Р. Центральная проекция произвольной точки R строится следующим образом. Построим прямую линию, проходящую через точку наблюдения W и проецируемую точку R. Точка Р, в которой эта прямая или ее продолжение пересекают проекционную плоскость, и является центральной проекцией точки

Рис. 9.3.3. Построение центральной проекции точки

Радиус-вектор точки R обозначим через , а радиус-вектор ее центральной проекции — через . Пусть проецируемая точка в глобальной прямоугольной декартовой системе координат описывается радиус-вектором с координатами , а в системе координат , связанной с проекционной плоскостью, эта точка имеет координаты х, у, z. Координаты точки в этих координатных системах связаны соотношением (9.2.3). Обозначим радиус-вектор точки наблюдения через w. Пусть в местной системе координат он имеет координаты Расстояние от точки наблюдения W до ее проекции на плоскость F равно . Построим отрезок RA, параллельный отрезку PF. Длина отрезка равна

Рассмотрим на рис. 9.3.3 два подобных треугольника: WFP и WAR. Из подобия треугольников следует, что . Запишем последнее равенство в векторном виде:

(9.3.1)

Используя это равенство, найдем радиус-вектор центральной проекции точки

Чтобы получить координаты точки в проекционной плоскости, нужно с помощью равенства (9.2.3) перевести вектор из глобальной системы координат в местную систему координат. Первые две координаты вектора в проекционной системе координат и будут координатами центральной проекции точки на плоскости (9.2.1). Запишем равенство (9.3.2) в местной системе координат:

(9.3.3)

Таким образом, декартовы координаты двухмерной точки являющейся центральной проекцией рассматриваемой точки в пространстве, на плоскости (9.2.1) равны

(9.3.4)

Если удалить точку наблюдения на бесконечное расстояние от проекционной плоскости, то .

В расширенном матричном виде с учетом (9.2.3) равенство (9.3.3) можно записать следующим образом:

Напомним, что пространственные координаты вектора равны первым трем компонентам расширенного вектора, деленным на его четвертую компоненту. В силу предположения, что проекционная плоскость и рассматриваемая точка расположены с одной стороны от точки наблюдения, величина всегда положительна. Формула (9.3.5) описывает преобразование координат из глобальной системы координат в двухмерную систему координат на проекционной плоскости. Это является искусственным преобразованием, так как третья координата центральной проекции им не определяется (положена равной нулю). Оно не имеет обратного преобразования, так как определитель одой из матриц равен нулю.

Матрица преобразования.

Центральную проекцию объекта можно получить с помощью его преобразования по матрице

После такого преобразования объект исказится так, что его параллельная проекция на плоскость (9.2.1) будет совпадать с его центральной проекцией на эту же плоскость. Определитель матрицы не равен нулю, и преобразование (9.3.6) обратимо.

Для того, чтобы учесть масштабные единицы устройства вывода и масштаб проекции, двухмерный радиус-вектор нужно умножить на матрицу (9.2.4) и масштаб изображения.

На рис. 9.3.4 и 9.3.5 приведены перспективные изображения геометрического объекта.

Для обоих рисунков использовалась одна и та же проекционная плоскость, но на рис. 9.3.4 проекция точки наблюдения лежит слева и выше центра рисунка, а на рис. 9.3.5 проекция точки наблюдения лежит правее центра рисунка.

Рис. 9.3.4. Центральная проекция объекта

Рис. 9.3.5. Центральная проекция объекта

Чем дальше от точки наблюдения находится объект, тем меньше его перспективное изображение.