Главная > Математика > Геометрическое моделирование
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3.8. Поверхности Безье

Рассмотренные выше кривые Безье (2.5.3) характерны тем, что их радиус-вектор представлен в виде суммы радиус-векторов точек в пространстве, умноженных на некоторые коэффициенты, являющиеся скалярными функциями параметра кривой. Скалярными функциями являются функции Бернштейна. Аналогичным образом строятся поверхности Безье, радиус-вектор которых представляется в виде суммы радиус-векторов точек в пространстве, умноженных на коэффициенты, являющиеся функциями Бернштейна параметров поверхности. Рассмотрим поверхности Безье подробнее.

Пусть имеется совокупность точек образующих сетку, т. е. условно расположенных в виде рядов по точек в каждом ряду. Индексы точки означают, что данная точка расположена по счету в ряду (первый индекс равен номеру ряда, второй — номеру точки в ряду). Нумеровать ряды будем от 0 до , а точки в них будем нумеровать от 0 до . Поверхность Безье, построенная на совокупности точек определяется радиус-вектором

где — функции базиса Бернштейна:

(3.8.2)

Напомним, что коэффициенты Бернштейна удовлетворяют равенству (2.5.5), в соответствии с которым функции удовлетворяют равенству

(3.8.4)

Будем говорить, что вдоль -направления поверхность имеет степень , а вдоль направления поверхность имеет степень .

Если представить, что на каждых четырех соседних точках построена билинейная поверхность, то мы получим многогранник, который будем называть характеристическим. Точки будем называть вёршинами характеристического многогранника. Поверхность Безье вместе со своим характеристическим многогранником показана на рис. 3.8.1. Так как коэффициентов Бернштейна только нулевой и последний принимают максимально возможные значения, то поверхность Безье проходит только через угловые вершины сетки:

Сечения поверхности (3.8.1) по линиям или представляют собой кривые Безье. Характеристический многогранник дает общее представление о поверхности Безье, а сама поверхность как бы сглаживает углы этого многогранника. Чем выше порядок поверхности (3.8.1), тем она более гладкая. Порядок поверхности в на правлении жестко связан с количеством вершин в ряду, а порядок поверхности в направлении жестко связан с количеством рядов вершин. Область изменения параметров поверхности представляет собой квадрат со стороной, равной 1.

Степень поверхности Безье, а соответственно и ее гладкость, жестко связаны с количеством вершин, по которым она построена. Это может создать некоторые неудобства при использовании поверхностей Безье.

Рис. 3.8.1. Поверхность Безье и ее характеристический многогранник

Преодолеть эти неудобства могут помочь составные поверхности. Составная поверхность Безье получается в результате стыковки отдельных поверхностей Безье, имеющих вдоль стыкуемых краев одинаковые степени. В общем случае для того, чтобы порции поверхности Безье гладко стыковались друг с другом, нужно чтобы ребра, прилегающие к углам стыкуемых порций поверхности, лежали в одной плоскости.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление