Главная > Математика > Геометрическое моделирование
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

5.2. Эйлерова характеристика оболочек

Топологические свойства оболочки могут быть выражены через количество ее граней, ребер, вершин и циклов. Пусть оболочка содержит F граней, Е ребер, V вершин и L циклов. Число вершин, ребер, граней и циклов оболочки связаны между собой соотношением

(5.2.1)

где величина Н называется эйлеровой характеристикой оболочки. Формула (5.2.1) носит имя формулы Эйлера. Если каждая грань оболочки имеет один цикл, то и слагаемое в скобках в левой части (5.2.1) может быть опущено. Одну и ту же оболочку можно построить из различного набора граней. Например, сферическую оболочку можно построить из двух полусфер или из нескольких сферических сегментов подобно футбольному мячу. Как будет видно далее, эйлерова характеристика оболочки не зависит от числа и формы составляющих ее граней, но зависит от природных характеристик оболочки, которые изучает топология.

Рассмотрим, как изменяется эйлерова характеристика оболочки при изменении составляющих ее элементов. Для этого будем изменять состав граней, ребер и вершин некоторого фрагмента оболочки, не изменяя состава остальной части оболочки.

Рис. 5.2.1. Эйлерова характеристика не изменяется при ликвидации ребра оболочки

При желании оболочкой можно считать только показанный на рисунках фрагмент. На рис. 5.2.1 показан фрагмент оболочки, у которого ликвидируется одно ребро. Из рисунка видно, что при ликвидации одного ребра число граней, число ребер и число циклов уменьшается на единицу, а эйлерова характеристика оболочки не изменяется.

Если объединить два ребра, ликвидировав общую для них вершину, то число ребер и вершин оболочки уменьшатся на единицу. Если разрезать ребро на две части, вставив вершину, то число ребер и вершин оболочки увеличится на единицу. Эйлерова характеристика оболочки в обоих случаях не изменится. При введении одного дополнительного ребра между существующими вершинами число граней, число циклов и число ребер увеличится на единицу.

Рис. 5.2.2. Эйлерова характеристика не изменяется при добавлении ребра в оболочку

При введении дополнительного ребра с добавлением двух новых вершин на его концах число граней и циклов увеличивается на единицу, число ребер увеличивается на три из-за деления двух существующих ребер на две части и добавления нового ребра, а эйлерова характеристика оболочки не изменяется, что показано на рис. 5.2.2.

Эйлерова характеристика оболочки не изменяется и при введении одного дополнительного ребра, соединяющего существующую вершину и новую вершину, делящую существующее ребро на два ребра.

В приведенных примерах все грани не изменяли число ограничивающих их циклов, а все новые грани имели один цикл. В общем случае грань может иметь вырезы внутри. Грань с вырезами с топологической точки зрения отличается от грани без вырезов, так как первую нельзя преобразовать во вторую путем деформирования.

Рис. 5.2.3. Добавление грани и двух циклов в оболочку

Число вырезов в грани также играет существенную роль. Топологически эквивалентными являются грани, которые путем деформирования могут быть преобразованы одна в другую. Для этого грани должны иметь одинаковое число вырезов или одинаковое число циклов. На рис. 5.2.3 показано добавление новой грани в оболочку путем введения замкнутого ребра, целиком лежащего внутри существующей грани.

Число граней, ребер и вершин при этом увеличится на единицу, а число циклов увеличится на два (цикл на добавленном замкнутом ребре должен быть посчитан дважды: один раз в одной грани, второй раз — в другой грани). Эйлерова характеристика оболочки при этом также не изменится. Эйлерова характеристика оболочки не изменится, если мы преобразуем грань с двумя циклами в грань с одним циклом, что приведено на рис. 5.2.4.

Рис. 5.2.4. Добавление ребра и ликвидация внутреннего цикла грани

Покажем это. Пусть новое ребро начинается и оканчивается в уже существующих вершинах, тогда число ребер увеличится на единицу, число циклов уменьшится на единицу, а эйлерова характеристика не изменится.

Все перечисленные модификации оболочки не изменяют ее эйлеровой характеристики. Это иллюстрирует то, что эйлерова характеристика не зависит от способа разбиения оболочки на грани, а зависит только от природы оболочки.

Рассмотрим еще один пример, показывающий, что эйлерова характеристика зависит от топологии оболочки, и не зависит от способа раскроя ее на грани.

Рис. 5.2.5. Эйлерова характеристика оболочек различна

Возьмем оболочку в форме четырех угольной призмы и превратим ее в оболочку в форме четырехугольной призмы с четырехугольным отверстием, что показано на рис. 5.2.5.

Исходная оболочки имела следующие числа граней, циклов, ребер и вершин: и ее эйлерова характеристика равна Результирующая оболочки имеет: граней циклов ребер вершин а ее эйлерова характеристика равна . В двух гранях увеличилось число циклов (было по одному циклу, а стало по два).

Рис. 5.2.6

Эйлерова характеристика новой оболочки уменьшилась на две единицы. Повторим переход от той же призматической оболочки к призматической оболочке с вырезом, только верхнюю и нижнюю грань исходной оболочки представим в виде совокупности девяти граней, как показано на рис. 5.2.6.

Исходная оболочки имела следующие числа граней, циклов, ребер и вершин: и ее эйлерова характеристика равна . Результирующая оболочки имеет: граней циклов ребер вершин а ее эйлерова характеристика равна . Все грани в исходной и результирующей оболочках имеют по одному циклу. Эйлерова характеристика результирующей оболочки, как и предыдущем примере, уменьшилась на две единицы.

Это произошло в результате того, что мы получили оболочку, которая топологически неэквивалентна исходной оболочке. Действительно, представив, что обе оболочки, показанные на рис. 5.2.5, выполнены из легко деформируемого материала, скруглив углы, из первой оболочки получим сферу, а из второй — тор (рис. 5.2.7).

Рис. 5.2.7. Сфера и тор имеют различную топологию

Никакими деформациями невозможно из сферы получить тор — они имеют разную топологию.

Эйлерова характеристика оболочки отражает ее природные свойства, связанные с возможностью деформировать одну оболочку в другую или, другими словами, установить между ними взаимно однозначное соответствие. Для описания топологических свойств оболочек и их граней используется понятие связности. Оболочки одинаковой связности могут быть деформированы одна в другую при условии, что они имеют равное число границ и одинаковую ориентируемость.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление