Главная > Математика > Геометрическое моделирование
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3.5. Линейчатые поверхности

Линейчатая поверхность представляет собой геометрическое место отрезков прямых, соединяющих соответствующие точки заданных двух линий. Ее можно получить путем движения прямой линии по двум направляющим кривым линиям, при этом каждой точке одной кривой должна соответствовать вполне определенная точка другой кривой. Пусть заданы две направляющие кривые , где параметры кривых t и w изменяются в пределах . Радиус-вектор линейчатой поверхности определяется формулой

(3.5.1)

Для направляющих кривых неявно производится репараметризация — приведение области изменения параметров к отрезку от 0 до 1. Можно было бы репараметризовать только одну кривую — привести область изменения одной из них к другой.

Если параметризация кривых совпадает, то радиус-вектор линейчатой поверхности может быть описан функцией

На рис. 3.5.1 приведен пример линейчатой поверхности.

Если обе направляющие замкнуты, то линейчатая поверхность замкнута по параметру и. По другому параметру линейчатая поверхность всегда не замкнута.

Если направляющими линиями являются отрезки прямых линий, то поверхность является линейчатой по обоим параметрам и для ее построения достаточно знать радиус-векторы концевых точек отрезков.

Рис. 3.5.1. Линейчатая поверхность

Пусть один направляющий отрезок в форме (2.2.3) проведен из точки в точку , а другой направляющий отрезок проведен из точки в точку . Тогда линейчатая по двум параметрам поверхность определится векторной функцией

Такая поверхность называется билинейной. Она всегда не замкнута. Если все четыре точки лежат в одной плоскости, то поверхность представляет собой часть плоскости. В некоторых случаях удобно описывать плоскость по четырем точкам, лежащим в углах квадрата, в виде зависимости (3.5.2). Описанная таким образом плоскость отличается от (3.2.1) тем, что ее параметрические размеры не зависят от размеров самой плоскости. При выполнении пересечений и других операций над поверхностями желательно, чтобы у поверхностей области определения параметров не зависели от размеров поверхностей. Если точки или совпадают, то мы получим треугольную поверхность, которая всегда плоская.

Частным случаем линейчатой поверхности является секториальная поверхность. Она получается из линейчатой поверхности (3.5.1), если одну из кривых, например заменить точкой . Радиус-вектор секториальной поверхности описывается формулой

(3.5.3)

Если направляющая замкнута, то секториальная поверхность также замкнута по параметру . По другому параметру секториальная поверхность всегда не замкнута.

Треугольная и секториальная поверхности имеют точку, в которой одна из частных производных ее радиус-вектора равна нулю. Аналогичные точки имеют сферическая и коническая поверхности. Эти точки не являются особыми, так как другая частная производная радиус-вектора поверхности не равна нулю. Если рассматривать кривые на поверхностях, то в таких точках находятся отрезки двухмерных координатных линий.

С помощью линейчатой поверхности можно моделировать детали с уклоном и фаски деталей. Направляющими кривыми поверхности-фаски служат кривые на поверхностях, отстоящие от ребра на заданном расстоянии.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление