Главная > Математика > Геометрическое моделирование
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

1.4. Однородные координаты

Рассмотренные выше модификации поворота (1.3.6), симметрии (1.3.8), масштабирования (1.3.9) радиус-вектора точки описываются формулами, имеющими одинаковый вид:

где — преобразованный вектор сдвига. Сдвиг (1.3.1) точки описывается этой же формулой с единичной матрицей А и вектором t, равным вектору сдвига. Аналогичный вид имеет преобразование координат точки (1.2.5). Преобразованиям координат и модификациям точки можно придать единый простой вид

(1.4.2)

Для этого нужно увеличить размерность векторов и матриц на единицу. Вектор, дополненный еще одной компонентой, называется расширенным вектором. Компоненты расширенного вектора называются однородными координатами. Представим каждый радиус-вектор в расширенном виде

(1.4.3)

Матрица представляет собой матрицу А, окаймленную снизу нулями, а справа — вектором сдвига t в расширенном виде

(1.4.4)

Индекс матрицы говорит о том, что она является расширенной, и включает вектор сдвига t. Для преобразований (1.4.1) будем использовать запись

(1.4.5)

считая, что расширенная матрица включает преобразование по матрице А и сдвиг по вектору Расширенный вектор Q описывает точку, остающуюся неподвижной при преобразовании.

В некоторых случаях, например для построения рациональных кривых и поверхностей, наряду с координатами для точек необходим дополнительный параметр — так называемый вес (значимость) точки. Этот параметр точки в вычислениях преобразуется так же, как и координаты, поэтому его считают дополнительной координатой.

При наличии у точки дополнительной координаты w запись ее радиус-вектора в однородных координатах имеет вид

(1.4.6)

При использовании однородных координат вычисления производятся для однородных компонент без выделения декартовых координат. Декартовы координаты точки получают на конечном этапе вычислений делением

Следует заметить, что векторы R и в однородных координатах представляют одну и ту же точку. Для точек, имеющих вес, сдвиг, поворот, симметрия, масштабирование и другие модификации описываются общей формулой (1.4.2).

С помощью однородных координат и расширенных матриц удобно описывать преобразования координат. Например, переход из системы координат в систему Оеез вместо равенств (1.2.4) может быть описан матричным равенством

Обратное преобразование (1.2.8) может быть описано матричным равенством

Компоненты связаны с компонентами соотношениями

(1.4.9)

Матрицы преобразований (1.4.7) и (1.4.8) удовлетворяют равенству

Двухмерное пространство. Двухмерные точки в однородных координатах имеют аналогичный вид

(1.4.10)

Преобразования двухмерных расширенных векторов аналогичны преобразованиям пространственных расширенных векторов. Например, преобразование координат (1.2.16) может быть описано матричным равенством

(1.4.11)

Обратное преобразование (1.2.17) может быть описано матричным равенством

(1.4.12)

где компоненты связаны с компонентами соотношениями (1.2.18).

Использование однородных координат оказывается полезным и там, где дополнительная компонента точки отсутствует. В этом случае ее полагают равной единице.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление