Макеты страниц 7.11. Вариационные связи двухмерных линийВариационные связи для нескольких двумерных точек рассмотрим в виде связей точек двухмерных кривых. С помощью вариационных связей легко управлять кривыми. Например, отрезки можно сделать ортогональными, параллельными друг другу или осям координат, окружности и сплайны можно делать сделать касательными отрезкам или друг другу. Пусть даны два отрезка прямых
построенных по точкам
где а — заданный угол. Синус и косинус угла пропорциональны величинам:
Уравнение (7.11.3) связывает восемь параметров. Ортогональность отрезков.Как частный случай связи (7.11.3) может рассматриваться вариационная связь устанавливающая ортогональность отрезков. Данная вариационная связь описывается уравнением
Систему уравнений для определения положения точек получим из равенства нулю частных производных функции
где Параллельность отрезков.Другим частным случаем связи (7.11.3) является вариационная связь, устанавливающая параллельность отрезков. Она определяется уравнением
Пусть в исходном состоянии координаты точек
Для простоты предположим, что точки
Эта система имеет решение
где
Рис. 7.11.1. Параллельность отрезков прямой линии В описанном случае параллельности отрезков первый зависит от второго и подстраивается под него. Рассмотрим, как будет себя вести зависимый отрезок при вращении другого отрезка. Пусть в исходном состоянии точки
Будем вращать точку
В соответствии с решением (7.11.11) точка
где
Рис. 7.11.2. Траектории движения отрезка При изменении угла Касание сплайнов.Рассмотрим вариационные связи касания линий друг друга. Пусть даны две NURBS кривые. Одна из них описывается функцией
и построена на точках
и построена на точках
Рис. 7.11.3. NURBS кривые будут касаться ближайшими точками Эти точки должны удовлетворять уравнениям (4.8.9), в данном случае имеющим вид
Пусть этим точкам соответствуют параметры Точки на кривых выражаются в виде сумм
где
Пусть точки имеют координаты
Составим функцию суммарного перемещения точек касающихся кривых совместно с уравнением связи (7.11.18). Эта функция имеет вид
Систему уравнений для определения положения точек получим из равенства нулю частных производных функции (7.11.19)
где
Система уравнений (7.11.20) на
Значение коэффициента Л на текущей итерации равно
где Перемещение всех точек на каждой итерации происходит параллельно касательным к кривым, проходящим через точки Следует заметить, что в искомой точке выполняется равенство (7.11.18), что обращает в нуль числители и знаменатели последних слагаемых уравнений системы (7.11.20).
Рис. 7.11.4. Модификация NURBS кривых при наложении связи касания Если на очередной Касание отрезка и окружности.Решим задачу касания в частных случаях. Касание отрезка
описывается уравнением
где
где Система уравнений для определения положения точек имеет вид
Система уравнений (7.11.26) решается итерационно. Перед началом новой итерации необходимо заново вычислить параметр
Рис. 7.11.5. Поведение окружности и отрезка при касании Касание окружностей.Касание двух окружностей
описывается уравнением
В данном случае радиусы окружностей также являются варьируемыми параметрами. Уравнение (7.11.29) связывает шесть параметров. Систему уравнений для определения параметров связи получим, приравняв нулю частные производные по параметрам функции
где
где
где
Рис. 7.11.6. Касание окружностей Поведение окружностей приведено на рис. 7.11.6. При расположении окружностей одна внутри другой в уравнениях (7.11.31) изменяется знак перед одним из радиусов.
|
Оглавление
|