Главная > Математика > Геометрическое моделирование
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3.9. Рациональные поверхности

В предыдущей главе было показано, что кривую Безье можно обобщить так, чтобы она могла описывать заданное коническое сечение. Рассуждая аналогичным образом, придем к тому, что поверхность Безье можно обобщить так, чтобы она могла описать требуемую часть поверхности второго порядка — эллипсоида, гиперболоида, параболоида или их частных случаев.

Наделим каждую вершину кривой весом и будем описывать поверхность в однородных координатах. Поверхности, характеристические точки которых обладают весами, называются рационалънъши. Сам радиус-вектор такой поверхности тоже приобретает вес. Вес радиус-вектора вычисляется по точно таким же формулам, что и его координаты, поэтому вес принято считать дополнительной координатой точки. Рациональные поверхности Безье можно получить подобно тому, как строились рациональные кривые Безье. Расширенный радиус-вектор (1.4.6) рациональной поверхности Безье описывается формулой, по виду совпадающей с (3.8.1), в которой обычные векторы заменены соответствующими расширенными векторами

Обычный трехмерный радиус-вектор рациональной поверхности Безье определяется формулой

(3.9.1)

Как и у рациональных кривых, у рациональной поверхности играют роль не абсолютные значения весов вершин, а относительные значения. Чем больше вес некоторой вершины по отношению к весам других вершин, тем ближе к этой вершине проходит поверхность.

С помощью поверхности (3.9.1) может быть построена часть поверхности второго порядка или часть поверхности тора так же, как с помощью рациональной кривой Безье (2.7.2) может быть построена некоторая часть конического сечения. Для этого проще всего использовать рациональную поверхность Безье второй степени, построенную по девяти вершинам:

В (3.9.2) веса угловых вершин положены равными единице, а для остальных вершин введены веса имеющие индексы параметрических направлений поверхности. Тип поверхности, получаемой по формуле (3.9.2), зависит от положения вершин и от весов и Так, например, для того чтобы получить часть поверхности тора (3.2.18) с углами раствора нужно, чтобы вершины рог, , где , располагались друг относительно друга аналогично тому, как было показано на рис. 2.6.5, а веса вершин имели значения .

С помощью составной рациональной поверхности Безье может быть построена полностью любая поверхность второго порядка. Для этого нужно использовать несколько поверхностей (3.9.2), гладко стыкующихся между собой, как было описано выше.

Поверхность скругления.

Рациональной поверхностью можно описать поверхность скругления ребра детали. Сечение поверхности скругления в одном из параметрических направлений должно представлять собой дугу окружности. Эту дугу мы опишем с помощью рациональной кривой Безье (2.6.16), в которой вершины и угол дуги а будем считать функциями одного из параметров поверхности скругления. Радиус-вектор поверхности скругления выразится формулой

(3.9.3)

где — вес линии , вычисленный по углу дуги в данном месте.

Метод построения кривых по радиусу скругления (возможно переменному) будет приведен в следующей главе.

Рис. 3.9.1. Поверхность скругления — пример рациональной поверхности

Простейший вариант поверхности скругления (3.9.3), построенной между двумя плоскостями, приведен на рис. 3.9.1.

Будем рассматривать формулу (3.9.1) в более широком смысле, а именно, будем считать, что в них вместо функций могут стоять некоторые произвольные базисные функции, которые обозначим через . В общем виде радиус-вектор рациональной параметрической поверхности, построенной на вершинах, определяется формулой

(3.9.4)

где — радиус-векторы вершины, расположенной в ряду, характеристического многогранника поверхности, — вес соответствующей вершины, — функция вершины в ряду, — число рядов вершин, — число вершин в каждом ряду. В отличие от формулы (3.9.1) суммирование в формуле (3.9.4) начинается с 1, а не с 0. Это не имеет принципиального значения, просто для поверхностей Безье удобно было нумеровать, начиная с 0, а в других случаях удобнее проводить нумерацию, начиная с 1. Параметр и изменяется вдоль вершин, стоящих в некотором ряду, а параметр v изменяется вдоль рядов вершин, имеющих одинаковый номер в ряду.

В терминах однородных координат расширенный радиус-вектор (1.4.6) рациональной поверхности определяется формулой

(3.9.5)

где — расширенные векторы вершин поверхности.

Радиус-вектор рациональной поверхности вычисляется как частное от деления двух функций параметров поэтому при вычислении производных рациональной поверхности правую часть (3.9.5) следует рассматривать как сложную функцию.

Если условно обозначим радиус-вектор рациональной поверхности как , то производные радиус-вектора рациональной поверхности определятся формулами

Производные более высокого порядка вычисляются аналогично.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление