6.3. Тела, полученные движением плоского контура

Многие тела или заготовки для них можно получить путем движения плоского контура по заданной траектории. Пусть траектория движения описывается кривой которую мы будем называть направляющей. Плоский контур будем называть образующей кривой. Пусть дана ограниченная плоскость

(6.3.1)

где область на плоскости параметров, ограниченная двухмерным контуром . Контур состоит из набора стыкующихся друг с другом двухмерных кривых п. Радиус-вектор контура описывается формулой (2.12.7). Каждая кривая контура в пространстве описывается радиус-вектором

(6.3.2)

Контур не должен иметь точек самопересечения. Если направляющая кривая движения контура не замкнута, то оболочка тела имеет торцевые грани. Торцевые грани тел движения представляют собой плоскости, ограниченные заданным контуром.

Они описываются радиус-вектором (3.15.1). Если направляющая кривая движения контура замкнута, то оболочка тела не имеет торцевых граней. Боковые грани оболочки тела базируются на поверхностях движения. Число боковых граней равно числу кривых в контуре. Каждая боковая поверхность в качестве образующей содержит пространственный аналог соответствующей кривой контура. В зависимости от типа траектории движения можно построить несколько типов тел.

Тело выдавливания.

Если направляющей движения контура служит отрезок прямой , то мы получим тело выдавливания. Одна из его торцевых граней будет описываться ограниченной плоскостью (6.3.1). Другая его торцевая грань будет описываться аналогичной плоскостью, только с началом в точке Боковая грань тела выдавливания, соответствующая кривой контура описываются поверхностями

(6.3.3)

Тело выдавливания, построенное по замкнутому контуру, приведено на рис. 6.3.1. Для контура можно построить эквидистантный контур. По заданному контуру и эквидистантному к нему контуру может быть построено тело выдавливания с уклоном.

Рис. 6.3.1. Тело выдавливания

Рис. 6.3.2. Тело выдавливания с уклоном

Угол уклона определяется эквидистантои и длиной выдавливания. Тело выдавливания с уклоном приведено на рис. 6.3.2. Выдавливание выполнено в обе стороны от плоскости (6.3.1). Боковые грани тела с уклоном построены на линейчатых поверхностях.

Рис. 6.3.3. Тонкостенное тело выдавливания

Рис. 6.3.4. Тонкостенное тело выдавливания

Тонкостенное тело выдавливания может быть построено по замкнутой или незамкнутой составной плоской кривой. Для его построения также используются эквидистантные составные кривые. Тонкостенные тела выдавливания приведены на рис. 6.3.3 и 6.3.4.

Рис. 6.3.5. Замкнутая (а) и незамкнутая (б) составная кривая

Замкнутая составная кривая и незамкнутая составная кривая, по которым построены приведенные выше тела, показаны на рис. 6.3.5.

Тело вращения.

Если направляющей кривой движения контура служит окружность или ее дуга, то мы получим тело вращения. Пусть ось вращения проходит через точку а ее направление характеризуется единичным вектором i. Тогда боковая грань тела вращения, соответствующая кривой , будет описываться поверхностью

где — составляющая вектора с параллельная оси вращения, — составляющая вектора перпендикулярная оси вращения, — ортогональный первым двум векторам вектор, длина которого равна длине вектора Кривая описывается радиус-вектором (6.3.2).

Ось вращения не должна пересекать боковые грани. Определим положительное направление оси вращения. Пусть мы находимся с той стороны плоскости контура, откуда движение вдоль контура в положительном направлении выглядит против часовой стрелки. За положительное направление оси вращения примем направление, при взгляде вдоль которого контур находится слева. Если угол вращения равен , то оболочка тела имеет топологию тора, в противном случае — топологию призмы. В первом случае оболочка не имеет торцевых граней. Тело вращения с топологией призмы, построенное по замкнутому контуру, приведено на рис. 6.3.6. Тело вращения с топологией тора, построенное по замкнутому контуру, приведено на рис. 6.3.7.

По замкнутой или незамкнутой составной плоской кривой может быть построено тонкостенное тело вращения. Для его построения используются эквидистантные контуры или составные кривые. Тонкостенные тела вращения приведены на рис. 6.3.8 и 6.3.9.

Рис. 6.3.6. Тело вращения

Рис. 6.3.7. Тело вращения с топологией тора

Рис. 6.3.8. Тонкостенное тело вращения

Рис. 6.3.9. Тонкостенное тело вращения

Рис. 6.3.10. Сфероид

Рис. 6.3.11. Тонкостенный сфероид

По незамкнутой составной плоской кривой могут быть построены тела вращения, приведенные на рис. 3.6.10 и 3.6.11. Из концов образующей на ось вращения опущены перпендикуляры, по которым построены соответствующие грани. Для построения тонкостенного тела используется эквидистантная составная кривая. В отличие от предыдущих примеров тела, приведенные на рис. 3.6.10 и 3.6.11, касаются оси вращения. Такие тела будем называть сфероидами.

Кинематическое тело.

При всех других случаях формы направляющей кривой мы получим кинематическое тело. При движении плоского контура вдоль направляющей кривой ориентация контура относительно направляющей может меняться или может оставаться неизменной.

Если ориентация образующей в пространстве не меняется, то контур выполняет плоскопараллельное движение, оставаясь параллельным своему начальному положению, и мы получим тело сдвига. Боковые грани тела сдвига строятся для каждой кривой (6.3.2) и описываются поверхностью (3.4.3)

где h — вектор привязки образующей к направляющей. Вектор h смещает кривую на некоторую величину из ее начального положения относительно направляющей и сохраняет это смещение во время движения. Если , то сохраняется исходное положение образующей кривой относительно начальной точки направляющей кривой. Тело сдвига всегда имеет торцевые грани.

Если ориентация контура в пространстве при движении меняется, сохраняя некоторый заданный угол между плоскости контура и касательной к направляющей кривой, то мы получим тело заметания. Боковые грани тела заметания строятся для каждой кривой (6.3.2) и описываются поверхностью (3.4.7)

где — матричная функция, определяемая формулой (3.4.8).

Если направляющая кривая замкнута, то получим кинематическое тело с топологией тора. Если направляющая кривая не замкнута, то получим кинематическое тело с топологией призмы.

Рис. 6.3.12. Тело сдвига

Рис. 6.3.13. Тело заметания

Боковые грани кинематического тела (тела сдвига или тела заметания) не должны пересекать сами себя. Это требование приводит к тому, что направляющая кривая тела сдвига не может быть замкнутой. Тело сдвига приведено на рис. 6.3.12. Тело заметания приведено на рис. 6.3.13.

На рис. 6.3.14 приведено тонкостенное кинематическое тело, построенное по незамкнутой образующей и замкнутой направляющей.

Рис. 6.3.14. Тонкостенное тело заметания

Для построения граней рассмотренных тел нужно знать двухмерный контур местную его плоскость направляющую кривую и другие необходимые параметры (толщину стенки для тонкостенного тела, способ движения контура — плоскопараллельный или ортогональный).