| << Предыдущий параграф | Следующий параграф >> |
 |
|
| << Предыдущий параграф | Следующий параграф >> |
§ 3. АКСИОМАТИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ
3.1. Аксиоматическая теория
Под аксиоматической теорией понимают систему из двух множеств высказываний Т и W, одно из которых W содержит второе Т. Множество W состоит из высказываний, которые имеют смысл в рамках данной теории, а множество Т — из высказываний, которые рассматриваются в ней как истинные и доказуемые.
Множество Т получается следующим образом. Выбирается некоторое множество 
высказываний данной теории. Таким образом 
. Все высказывания этого выбранного множества объявляются аксиомами. Всякое высказывание w множества W относят к множеству Т и называют теоремой лишь в том случае, если существует конечная последовательность высказываний:
такая, что выполняются следующие условия:
1) каждое высказывание этой последовательности — или аксиома, или может быть выведено путем применения логических правил вывода из предшествующих высказываний этой последовательности;
В частности, каждая аксиома принадлежит множеству 
т. е. является теоремой. Последовательность (1) с указанными выше свойствами называется доказательством или выводом высказывания 
Если при описании теории система логических правил вывода предполагается известной, то теорию называют содержательной или неформальной. Если используемая система логических правил 
вывода явным образом включается в теорию, то такая теория называется формальной аксиоматической теорией. Классическая теория групп может служить примером неформальной аксиоматической теории, исчисление высказываний — примером формальной аксиоматической теории.
| << Предыдущий параграф | Следующий параграф >> |
-
ПРЕДИСЛОВИЕ
-
§ 1. ВВЕДЕНИЕ
§ 2. СИСТЕМЫ С ОТНОШЕНИЯМИ И АЛГЕБРАИЧЕСКИМИ ОПЕРАЦИЯМИ
-
2.1. Прямое произведение
-
2.2. n-членные отношения и n-арные алгебраические операции
-
2.3. Отображения
-
2.4. Системы с отношениями и операциями
-
2.5. Полугруппы и группы
-
2.6. Полукольца, кольца, тела и поля
-
2.7. Векторные пространства и линейные алгебры
-
2.8. Гомоморфизм и изоморфизм алгебраических систем
-
2.9. Отношение эквивалентности
-
2.10. Расширения алгебраических систем
§ 3. АКСИОМАТИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ
- 3.1. Аксиоматическая теория
-
3.2. Схема построения неформальной аксиоматической теории
-
3.3. Интерпретация и модель аксиоматической теории
-
3.4. Формулировка аксиоматической теории
-
3.5. Свойства аксиоматических теорий
-
3.6. Формальные аксиоматические теории
-
§ 4. СОДЕРЖАТЕЛЬНАЯ АКСИОМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
-
4.2. Аксиомы
-
4.3. Свойства сложения
-
4.4. Свойства умножения
-
4.5. Порядок во множестве натуральных чисел
-
4.6. Свойства неравенств
-
4.7. Конечные множества
-
4.8. Сумма и произведение нескольких элементов полугруппы
-
4.9. Независимость аксиомы индукции и роль аксиомы индукции в обосновании теории неравенств, теории делимости и свойств арифметических действий
-
4.10. Категоричность аксиоматической теории натуральных чисел
-
4.11. Аксиома минимальности
-
4.12. Непротиворечивость арифметики и другие вопросы
§ 5. УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
-
5.1. Упорядоченные множества
-
5.2. Упорядоченные полугруппы
-
5.3. Упорядоченные полукольца
-
5.4. Линейно упорядоченные кольца и тела
§ 6. СИСТЕМЫ ЦЕЛЫХ И РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
-
6.1. Первичные термины и аксиомы аксиоматической теории целых чисел
-
6.2. Свойства целых чисел
-
6.3. Категоричность системы целых чисел
-
6.4. Непротиворечивость аксиоматической теории целых чисел
-
6.5. Первичные термины и аксиомы аксиоматической теории рациональных чисел
-
6.6. Свойства рациональных чисел
-
6.7. Категоричность аксиоматической теории рациональных чисел
-
6.8. Непротиворечивость аксиоматической теории рациональных чисел
§ 7. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ В НОРМИРОВАННЫХ ПОЛЯХ
-
7.1. Нормированные поля
-
7.2. Последовательности в нормированных полях
-
7.3. Свойства последовательностей в нормированных полях
-
7.4. Последовательности элементов линейно упорядоченного поля
-
7.5. Последовательности элементов архимедовски линейно упорядоченного поля
§ 8. СИСТЕМА ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
-
8.1. Первичные термины и аксиомы теории действительных, чисел
-
8.2. Свойства действительных чисел
-
8.3. Систематические дроби как аппарат для представления действительных чисел
-
8.4. Категоричность аксиоматической теории действительных чисел
-
8.5. Непротиворечивость аксиоматической теории действительных чисел
-
8.6. Система p-адических чисел
-
8.7. Конечные и бесконечные цепные дроби
§ 9. СИСТЕМА КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ, КВАТЕРНИОНЫ И ТЕОРЕМА ФРОБЕНИУСА
-
9.1. Первичные термины и аксиомы теории комплексных чисел
-
9.2. Свойства комплексных чисел
-
9.3. Категоричность аксиоматической теории комплексных чисел
-
9.4. Непротиворечивость аксиоматической теории комплексных чисел
-
9.5. Алгебры конечного ранга
-
9.6. Алгебры над полем действительных чисел
-
УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ
-
ЛИТЕРАТУРА