УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ

2.3.4. Рассмотреть отображение

2.3.11. 1) Воспользоваться свойством 1.3.17.

2)

2.3.13. Из 2.3.11 и 2.3.12 следует существование взаимно-однозначного отображения множества А на подмножество 0 (В) этого множества.

2.6.7. Определение 2.5.2.

2.6.13. Пусть сначала . Имеем:

Далее, следует проверить, что из (2.6.1) и

следует

2.6.21. Прежде всего нужно доказать, что — кольцо с единицей. Это легко сделать, если воспользоваться результатами вопросов 2.6.1 и 2.6.9. Далее через q обозначим матрицу

Рассматривая произведение легко убедиться в том, что всякая отличная от нуля матрица q имеет обратный элемент.

2.8.6. Ввести в рассмотрение множество Р всех элементов таких, что . Пусть 0 — нуль поля — нуль алгебры А, Если , то . Поэтому из следует

чего нет в кольце с единицей. Окончание доказательства несложно.

2.10.1. Воспользоваться результатом вопроса 2.94.

3.5.2. Из аксиом следует, что для любой пары элементов множества G существуют элементы такие, что . Поэтому Из аксиомы следует Тем самым доказано существование левой единицы. Аналогично рассуждая, находим, что для любой пары элементов из существуют элементы такие, что

Поэтому имеем . В силу аксиомы находим, что Итак,

4.6.19. Сначала докажем, что

Из в силу антирефлексивности следует, что . Обозначим через М множество . Легко доказывается, что Затем без труда устанавливается, что Далее введем множество условием

и доказываем, что . Таким образом,

Пусть теперь тогда и, следовательно, либо . В первом случае, доказанному,

в противоречии с теоремой 4.5.3.

4.6.20. Первое утверждение доказывается при помощи рассуждений, сходных с теми., которые проводятся при доказательстве утверждения вопроса 4.6.19. Чтобы доказать, что ни одно из условий не является лишним, достаточно привести примеры четырех бинарных отношений на множестве натуральных чисел, каждое из которых не удовлетворяет последовательно одному из указанных условий и удовлетворяет трем остальным. Такими отношениями будут:

4.7.2. Пусть А — множество четных, В — нечетных натуральных чисел. Тогда . Равенство следуетиз 2.3.4.

4.8.5. Обозначим через М множество тех натуральных , для которых утверждение вопроса 4.8.5 верно. Легко видеть, что Предположим, , и докажем, что . Пусть S — взаимнооднозначное отображение отрезка на себя.

Если то имеем

А дальше следует воспользоваться тем, что S индуцирует взаимнооднозначное отображение отрезка на себя. Пусть теперь Из вопроса 4.8.2 и коммутативности сложения следует, что

Введя новое взаимно-однозначное отображение t отрезка на себя условием

легко закончить рассуждение.

4.8.9. Прежде всего заметим, что отношение S легко определяется через первичные термины нашей теории:

Таким образом, перечень первичных терминов второй теории содержится в совокупности терминов первой. Легко видеть также, что все аксиомы второй теории являются теоремами первой. Они просто переходят в ее аксиомы. Нам остается показать, что первичные термины первой теории выразимы через термины второй, а аксиомы первой теории являются теоремами второй, s Для этой цели определим во второй теории два тернарных отношения: — сумма — и - произведение — так, чтобы выполнялись следующие условия:

При фиксированном а каждое из вводимых нами тернарных отношений бинарное. Чтобы ввести искомые тернарные отношения, введем для каждого а бинарные отношения с теми же условиями. Иначе говоря, покажем, что для каждого а из A можно ввести бинарное отношение удовлетворяющее условиям:

Пусть сначала Полагаем

Имеем:

В силу аксиомы — условие (V) выполнено.

Таким образом, условие (VI) для введенного нами бинарного отношения также выполнено.

Пусть для какого-нибудь определено бинарное отношение и притом так, что условия (V) и (VI) выполнены. Полагаем

Имеем:

В силу предположения индукции и аксиомы условие (V) для выполнено.

в силу равенства (VII). Далее, в силу равенства (VI) получим

Далее вновь применяется равенство (VII):

Окончательно имеем

Таким образом, условие (VI) для выполняется. По аксиоме для любого а из А с каждым b из А можно сопоставить элемент так, что будут выполняться условия (V) и (VI). А это определяет тернарное отношение удовлетворяющее условиям (I) и (II).

Аналогично можно определить тернарное отношение — умножение, удовлетворяющее условиям (III) и (IV). Нетрудно видеть, что аксиомы первой теории после введения этих отношений становятся теоремами второй теории. Тем самым показана эквивалентность формулировок обеих аксиоматических теорий.

4.8.10. Докажем, что в наших предположениях для каждого натурального z существует и только одна функция

которая удовлетворяет условиям:

Пусть М — множество тех натуральных , для которых функция с условиями (VIII) существует. Легко доказать, что

Пусть — функции, удовлетворяющие условиям (VIII), и М — объединение множества

и множества

Легко доказывается, что . Далее заметим, что

Полагаем

Нетрудно проверить, что функция с удовлетворяет условиям (4.8.2), а также, что этими условиями функция с определяется однозначно.

4.8.12. Пусть и

Индукцией по можно доказать, что для каждого натурального существует частичная на множестве М X М функция, значения которой определены для всех пар таких, что

и которая удовлетворяет следующим условиям:

4.9.1. Рассмотреть интерпретации:

5.1.8. Определение 5.1.3.

5.1.12. Следует из линейности порядка

5.1.13. Если а — наименьший элемент множества и

то В — интервал, отделенный элементом а.

5.1.14. Пусть а — наименьший элемент множества

. Тогда . Из свойств отображения следует, что .

5.1.15. Следует из 5.1.14.

5.1.19. Пусть — какие-нибудь элементы множества . Тогда системы В и С соответственно изоморфны некоторым интервалам вполне упорядоченного множества А. Если то интервал изоморфно отображается на некоторый интервал системы . Поэтому . Отсюда и из вопроса 5.1.18 следует система — линейно упорядоченное множество. Сопоставляя с элементом b множества А порядковое число легко убедиться в том, что определенное так соответствие — изоморфное отображение системы А на систему Отсюда следует, что система — вполне упорядоченное множество и что .

5.1.20. Пусть . Система — вполне упорядоченное множество. Пусть . Если , то С — интервал каждой из систем А и В и поэтому , чего не может быть.

5.1.25. Имеем

Поэтому достаточно доказать равенство

равенство можно вывести, если воспользоваться результатами вопросов и 5.1.24.

5.1.27, Имеем

Поэтому достаточно доказать, что . Последнее равенство можно вывести, если воспользоваться результатами вопросов 5.1.23 и 5.1.25.

5.2.4. Из соотношений следует, что

Если то в силу антисимметричности отношения порядка, мы получим, что . А это влечет

5.2.5. Если а и b положительны, то по теореме 5.2.4 а Отсюда следует, что

5.2.7. См. пример 5.2.5.

5.2.9. Показать, что множество автоморфизмов мультипликативной полугруппы натуральных чисел бесконечно.

5.4.1. Показать, что в любом порядке этого поля, если только

6.2.10. Сначала доказывается, что из указанных пяти условий следует монотонность порядка относительно сложения. Затем, что

и

Чтобы доказать, что ни одно из пяти условий не является лишним, достаточно найти примеры таких пяти бинарных отношений в кольце целых чисел, каждое из которых не удовлетворяет последовательно одному из указанных отношений и удовлетворяет всем остальным. Такими отношениями будут:

6.6.9. Сначала показать, что этими условиями определяется строгий и линейный порядок в аддитивной группе рациональных чисел. Затем рассмотреть бинарные отношения в поле рациональных чисел, определяемые ниже:

7.1.3. Воспользоваться леммой: если — любые положительные числа и для каждого натурального , то

7.5.3. Легко проверить, что достаточно доказать следующее:

Предположим, что

для каких-либо элементов тела Т. В таком случае

Далее найдем элемент такой, что

Наконец, находим натуральные такие, что

(вопрос 7.5.2). Отсюда имеем

и поэтому

8.2.1. С каждым элементом а архимедовски упорядоченного поля сопоставить сходящуюся к а последовательность рациональных чисел этого поля.

8.2.4. Введем, пользуясь теоремой Цермело, в R полный порядок, а затем удалим из R каждое число, которое линейно с коэффициентами из Q выражается через конечное множество предшествующих (в этом порядке). Далее нетрудно показать, что оставшиеся элементы образуют искомый базис.

8.2.7. На первую часть вопроса ответить нетрудно. Далее, достаточно рассмотреть пять бинарных отношений в поле, определяемых следующим образом:

1)

2)

3) отношение вопроса 8.2.6;

4) (а, b — целые числа);

5) отношение вопроса 8.2.5.

8.2.9. Вопрос 8.2.5.

8.2.14. а) . Теорема 5.2.2. б) . Определений 8.2.1.

8.3.1. С каждым подмножеством сопоставим последовательность целых чисел, определяемую из условий:

и двоичную дробь

т. е. ряд

8.7.2. 1) Выражение для находится путем повторного применения правила интегрирования по частям.

2) Следует из 1).

3) Если , то — многочлен с целыми коэффициентами и — целые числа. Если , то

4)

5) Из 2), 3) и 4) следует, что существует целое положительное и сколь угодно малое число.

8.7.3. Следует из 8.7.2.

8.7.4. 1) Выражение для находится путем повторного применения правила интегрирования по частям.

2) Следует из 1).

3) Если , то — многочлен с целыми, кратными коэффициентами и — целое, кратное число при любом целом Для каждого целого от 1 до многочлен f и его первые производные обращаются в нуль. Если то многочлен f и его первые производные также обращаются в нуль. Но число

не делится на , если

4)

5) Из 2), 3) и 4) следует, что существует не равное нулю целое и сколь угодно малое число.

8.7.5. Следует из 8.7.4.

8.7.6. 1), 2), 4) и 6) доказываются индукцией по . 3) Очевидно.

5) Для каждого допустимого значения , начиная с 1, полагаем:

Так как , то последовательность сходится. Из 1) и 4) при находим, что

и что

для каждого натурального i от 1 до . Отсюда легко следует сходимость последовательности

7) Проверяется непосредственно.

8) Следует из 1) и 2).

9) Из уравнения

и 7) следует, что для каждого положительного число у принадлежит интервалу с концами . Взаимно-однозначность названного отображения проверяется без труда.

10) Из 8), 9) и 6) следует, что если цепная дробь с положительными элементами сходится к числу а, то число а принадлежит интервалу с концами Но тогда в силу 6) и 9). Наоборот, если все полные частные разложения числа а в данную цепную дробь положительны, то число а в силу 9) принадлежит интервалу с концами и, следовательно, последовательность сходится к числу а.

11) В силу 5) данная цепная дробь сходится к некоторому числу а. В силу 9) это число положительно. Предположим теперь, что число а рационально. Тогда из равенства

верного для любого натурального , следует, что при каждом натуральном число положительно и рационально. Обозначая для каждого неотрицательного целого через натуральные и взаимно-простые числа такие, что получим

Но поэтому Далее имеем

Так как числа взаимно-просты, то для некоторого натурального числа с:

Из этих равенств легко следует, что числа с и взаимно-просты. Поэтому число кратно с и Итак, для каждого натурального

Поэтому последовательность натуральных чисел строго убывает, что заведомо невозможно.

12) Из 1) и 2) следует, что цепная дробь (8.7.18) с положительными элементами сходится тогда и только тогда, если

Так как , то из равенства легко следует, что любой знаменатель подходящей дроби четного порядка не меньше 1, а нечетного порядка — не меньше Следовательно, каково бы ни было натуральное число

Применяя эти неравенства повторно, мы получим;

Поэтому, если ряд 2 расходится, то

Из равенства индукцией по легко выводится неравенство

Но для каждого положительного Поэтому

Следовательно, если ряд сходится, то последовательность ограничена и последовательность к нулю не сходится.

9.2.1. Модуль комплексного числа.

9.2.2, Вопрос 8.2.9.