8.3. Систематические дроби как аппарат для представления действительных чисел

Обозначения: — система действительных чисел, — система целых чисел и — система натуральных чисел.

Мы предполагаем, что поле действительных чисел — расширение кольца целых, кольцо целых — расширение полукольца натуральных чисел.

Определение 8.3.1. Пусть — последовательность действительных чисел и пусть Для каждого натурального . Выражение

(8.3.1)

называют рядом. Если последовательность сходится к действительному числу а, то а называют суммой ряда (8.3.1) и употребляют запись

Теорема 8.3.1. Пусть q — целое . Тогда

Доказательство. Имеем

Теорема 8.3.2. Пусть q — целое — последовательность целых с условием Тогда ряд

(8.3.2)

сходится. Его сумма а удовлетворяет условию

При этом равенство возможно только в случае, если

Доказательство. В самом деле, последовательность где ограничена суммой ряда

Теорема 8.3.3. Пусть q — целое Каждое действительное число а можно представить и притом единственным способом в виде

(8.3.3)

где:

1) если то перед правой частью равенства (8.3.3) выбирается знак если то знак

2) если то

3) если то и все — целые;

Доказательство. Предположим, что и число а представлено в форме (8.3.3). Из теоремы 8.3.2 следует, что

Поэтому

(8.3.4)

Этим условием по теореме 7.4.4 число определяется однозначно. Но тогда

(8.3.5)

и, следовательно, число определяется однозначно. Далее заметим, что

и, таким образом,

(8.3.6)

Итак, коль определены, то и определяется однозначно. Пусть теперь целые числа определены указанным выше способом, т. е. из условия 8.3.4, числа из условия 8.3.5 и 8.3.6. Тогда имеем

следовательно,

Наконец, заметим, что

Вопросы: 8.3.1. Доказать, что мощность множества всех действительных чисел интервала (0, 1) равна мощности множества всех подмножеств множества натуральных чисел N.

8.3.2. Доказать, что множество натуральных чисел N и множество всех его подмножеств не равномощны.

Множество, равномощные множеству всех действительных чисел интервала (0, 1), называют континуальным (мощности континуум).

8.3.3. Доказать, что множество всех действительных чисел — континуальное.

8.3.4. Доказать, что множество всех последовательностей действительных чисел континуальное.