6.2. Свойства целых чисел

Мы предполагаем, что — система целых чисел. Из аксиом следует, что при выполнении операций в системе N натуральных чисел и в системе Z целых чисел над натуральными числами можно не пользоваться разными знаками для обозначения операций сложения и умножения. Легко показать, что и вычитание натуральных чисел в обоих случаях, если выполнимо в N, приводит к одному результату. Поэтому мы пользуемся в дальнейшем одним знаком — для обозначения вычитания натуральных чисел, независимо от того, в каком множестве рассматривается это отношение.

Теорема 6.2.1. Всякое целое число есть разность натуральных

Доказательство. Обозначим через М подмножество Z всех таких целых чисел, которые представимы в виде разности натуральных чисел. Имеем:

Поэтому (упражнение 2.5.1)

есть разность натуральных чисел и, следовательно, принадлежит М. В силу аксиомы

Теорема 6.2.2. Кольцо коммутативно и с единицей.

Доказательство. Имеем:

Теорема 6.2.3. Каждое целое число — нуль, натуральное или противоположно натуральному.

Доказательство. Теорема 6.2.1.

Теорема 6.2.4. Кольцо целыхчисел можнолинейно и строго упорядочить и притом единственным способом.

Порядок в кольце целых чисел архимедов и продолжает порядок в полукольце натуральных чисел.

Доказательство. Обозначим через множество N. Из теоремы 6.2.3 и алгебраичности операций на N следует» что — положительная часть кольца . Поэтому кольцо можно линейно упорядочить. Пусть — какая-нибудь положительная часть этого кольца. Имеем по теореме 5.4.4

Далее, если , то . Поэтому

В силу теоремы 5.4.12

Мы имеем дальше

Поэтому порядок в Z продолжает порядок в N. Заметим, наконец, что положительными в кольце целых чисел являются только натуральные числа — элементы а отсюда следует (вопрос 4.6.7), что порядок в кольце целых чисел архимедов.

Вопросы: 6.2.1. Доказать, что кольцо целых чисел дискретно и даже

6.2.2. Доказать, что уравнение неразрешимо в

6.2.3. Доказать, что уравнение имеет только нулевое (0,0) решение в

6.2.4 (теорема о делении с остатком). Доказать, что для любого целого числа та и любого натурального числа b можно найти и только одну пару целых чисел такую, что

6.2.5. Доказать, что множества Z и N равномощны.

6.2.6. Перечислить аксиомы, которые используются в доказательстве теоремы 6.2.1.

6.2.7. Доказать, что аксиомы можно вывести из остальных аксиом теории целых чисел.

6.2.8. Показать, что мультипликативную полугруппу целых чисел линейно и строго упорядочить нельзя.

6.2.9. Показать, что существует только один линейный и строгий порядок в аддитивной группе целых чисел, в котором 1 — положительный элемент.

6.2.10. Показать, что:

а) линейный порядок кольце целых чисел однозначно определяется следующими условиями:

б) ни одно из четырех названных выше условий не является следствием остальных.

6.2.11. Пусть — группа. Доказать, что

Целое кратное любого элемента а группы определяется следующими соглашениями:

6.2.12. Пусть — группа. Доказать, что:

3) если группа А коммутативна, то

6.2.13. Пусть — группа. Дать определение целой степени любого элемента группы А и сформулировать свойства целой степени, аналогичные указанным в вопросе 6.2.12.

6.2.14. Пусть — архимедовски линейно и строго упорядоченное поле. Доказать, что для любого элемента а поля Р существует и только одно целое число а такое, что

Число а с указанным в вопросе 6.2.14 свойством называют целой частью элемента и обозначают символом