6.6. Свойства рациональных чисел

Прежде всего можно сделать замечания, аналогичные тем, которые были сделаны в начале п. 6.2.

В этом пункте система — система натуральных чисел.

Теорема 6.6.1. Всякое рациональное число есть частное целых чисел, т. е.

Доказательство. Обозначим через М подмножество Q всех таких рациональных чисел, которые представимы в виде частного целых чисел.

Дальше рассуждаем почти так же, как при доказательстве теоремы 6.2.1.

Теорема 6.6.2. Поле рациональных чисел можно линейно и строго упорядочить, притом единственным способом. Порядок в поле рациональных чисел архимедов и продолжает порядок в кольце целых чисел.

Доказательство. Обозначим через подмножество Q, определяемое условием

Убедимся прежде всего, что принадлежность рационального а к множеству не зависит от формы записи числа а. В самом деле, если , то

но

Отсюда при следует, что числа либо оба натуральные, либо отрицательные целые.

Пусть теперь .

Возможны три случая:

Легко доказать также, что

Таким образом, — положительная часть поля Пусть — какая-нибудь положительная часть поля Докажем, что

Имеем по теореме 5.4.4

Отсюда следует, что а в силу теоремы 5.4.7 и По теореме

Легко видеть, далее, что

Отсюда следует, что порядок в Q продолжает порядок в

Пусть

Так как порядок в кольце целых чисел архимедов, то для положительных целых можно найти натуральное с такое, что

Отсюда

Таким образом, порядок в поле рациональных чисел архимедов.

Теорема 6.6.3. Всякое линейно упорядоченное поле содержит подполе, изоморфное полю рациональных чисел.

Доказательство. Пусть система — линейно упорядоченное поле. Так как система — линейно и строго упорядоченная полугруппа, то, каковы бы ни были целые числа

Далее заметим, что для любых целых гг и

Из этих замечаний легко вывести, что отображение множества рациональных чисел Q во множество Р, определяемое условием

есть изоморфное отображение поля рациональных чисел на некоторое подполе поля .

Вопросы: 6.6.1. Доказать, что поле рациональных чисел плотно, т. е.

6.6.2. Доказать, что уравнение не имеет решений в

6.6.3. Доказать, что множество Q счетно.

6.6.4. Доказать, что

(существование целой части числа а).

6.6.5. Какие аксиомы используются при доказательстве теоремы 6.6.1?

6.6.6. Доказать, что аксиомы в совокупности можно вывести остальных аксиом аксиоматической теории рациональных чисел.

6.6.7. Доказать, что мультипликативную группу рациональных чисел линейно и строго упорядочить нельзя.

6.6.8. Показать, что существует и только один линейный и строгий порядок в аддитивной группе рациональных чисел, в котором 1 — положительный элемент.

6.6.9. Показать, что:

а) порядок поле рациональных чисел однозначно определяется следующими условиями:

б) ни одно из пяти названных выше условий не является следствием остальных.