9.2. Свойства комплексных чисел

Мы предполагаем, что — система комплексных чисел. Таким образом, для этой системы выполнены все названные в разделе 9.1 аксиомы. Далее можно повторить замечание о знаках операций, сделанное в разделе 6.2.

Теорема 9.2.1. Всякое комплексное число а можно представить и только одним способом в виде

Доказательство. Предположим сначала, что

для некоторых действительных чисел . Поскольку — поле, то . Если , то

А это не может быть в силу теоремы 5.4.4. Возможность представления легко следует из аксиомы минимальности.

Теорема 9.2.2. Поле комплексных чисел нельзя линейно упорядочить.

Следует из теоремы 5.4.5, так как

Теорема 9.2.3. Аддитивную группу комплексных чисел можно линейно и строго упорядочить. См. вопрос 8.2.5.

Следующие две теоремы известны из курса алгебры.

Теорема 9.2.4. Любой многочлен степени над полем комплексны чисел можно разложить в произведение многочленов первой степени с комплексными коэффициентами. Другими словами, поле комплексных чисел алгебраически замкнуто.

Теорема 9.2.5. Любой многочлен степени над полем действительных чисел можно разложить в произведение неприводимых над полем действительных чисел сомножителей первой и второй степени.

Вопросы: 9.2.1. Показать, что поле комплексных чисел можно нетривиально нормировать относительно поля действительных чисел.

9.2.2 Показать, что множество линейных и строгих порядков в аддитивной группе комплексных чисел бесконечно.