4.7. Конечные множества

Определение 4.7.1. Множество называют конечным, если оно равномощно какому-либо отрезку натурального ряда, и бесконечным в противном случае.

Теорема 4.7.1.

Доказательство. Можно предположить, что для некоторого натурального . Пусть , тогда

Полагаем .

Соответствие — взаимно-однозначное отображение отрезка на отрезок

Из доказанной теоремы следует, что любое конечное множество или пусто, или равномощно начальному отрезку натурального ряда.

Теорема 4.7.2. Конечное множество А не равномощно любой своей правильной части.

Доказательство. Теорема легко сводится к случаю, когда А — отрезок натурального ряда. Если , то теорема верна, так как пустое множество не имеет правильных частей.

В силу теоремы 4.7.1 мы можем далее предполагать, что А — начальный отрезок натурального ряда. Для каждого натурального полагаем

Через М обозначим подмножество N вида

другими словами, к М отнесем в том случае, если не равномощно своей правильной части. Имеем:

а) , так как [1, 1] не имеет правильных частей, отличных от 0;

б) покажем, что . Предположим, что . Если , то в силу вопросов 2.3.7 и 4.6.9

А так как

то

и

Пусть теперь но . Так как В не пусто, то

В силу вопроса 2.3.7

Вместе с тем — правильная часть , что противоречит предположению ().

Теорема 4.7.3. Множество N бесконечно.

Доказательство.

Определение 4.7.2. Счетным называют множество, равномощное

Теорема 4.7.4. Всякое конечное множество или пусто, или равномощно только одному отрезку натурального ряда.

Следует из теоремы 4.7.2.

Определение 4.7.3. Числом элементов пустого множества называют символ 0 (нуль). Числом элементов множества, равномощного отрезку , называют число .

Пусть Множество N называют расширенным рядом натуральных чисел. В этом множестве можно ввести бинарные операции «сложение» и «умножение» и бинарное отношение «больше» так, чтобы вновь введенные отношения являлись продолжениями соответствующих отношений во множестве натуральных чисел. Для этой цели достаточно принять следующие соглашения:

Легко видеть, что система — коммутативное полукольцо, а отношение «больше» — связно, антисимметрично, транзитивно и монотонно относительно сложения.

Теорема 4.7.5. Всякое подмножество конечного множества конечно.

Легко выводится из следующего замечания:

Теорема 4.7.6, Число элементов собственного подмножества конечного множества А либо равно нулю, либо меньше числа элементов множества А.

Символом обозначают мощность счетного множества.

Вопросы: 4.7.1. Пусть b — мощность какого-нибудь непустого конечного множества. Доказать, что:

4.7.2. Доказать, что:

Определение 4.7.4. Пусть А — непустое множество; или , где k — какое-нибудь натуральное число. Всякое однозначное отображение а множества М в А называют последовательностью элементов множества А, в частности конечной, если и бесконечной, если Образ элемента множества М называют членом последовательности а.

Если образы всех элементов М в отображении а равны, то последовательность называют стационарной.

Обозначение. Пусть — образ элемента в отображении

В таком случае употребляют обозначение

если М — N, и

если

Легко видеть, что

По аналогии с отношением конечного ранга, заданным во множестве А, любое подмножество мы рассматриваем как отношение счетного ранга, заданное во множестве А.