5.3. Упорядоченные полукольца

Определение 5.3.1. Систему называют упорядоченным полукольцом, если выполняются следующие условия:

1) система — полукольцо;

2 система — упорядоченная полугруппа с непустым множеством положительных элементов;

Положительным элементом упорядоченного полукольца А называют любой положительный элемент упорядоченной полугруппы Упорядоченное полукольцо называют упорядоченным кольцом (телом, полем), если полукольцо — кольцо (соответственно тело, поле).

Определение 5.3.2. Пусть — упорядоченное полукольцо.

Порядок системы А называют архимедовым, а систему А — архимедовски упорядоченной, если, каковы бы ни были положительные элементы а и b системы А, можно указать такое натуральное число , что

Пример 5.3.1. В кольце F примера 2.6.5 определим отношение («выше») условием

Нетрудно доказать, что система — неархимедовски, частично и нестрого упорядоченное кольцо.

Пример 5.3.2. В кольце примера 2.6.8 определим отношение как в примере 5.3.1. Легко убедиться, что в данном кольце это отношение является архимедовым, частичным и нестрогим.

Определение 5.3.3. Пусть — упорядоченные полукольца, и полукольцо — расширение полукольца . Порядок называют продолжением порядка в А (или говорят, что порядок в А индуцирован порядком в ), если

Теорема 5.3.1. Пусть — линейно и строго упорядоченное полукольцо, а и b — положительные элементы системы А. Тогда

Пример 5.3.1. Полукольцо натуральных чисел с отношением (больше) — линейно и строго упорядоченное полукольцо.

Теорема 5.3.2. Пусть система — упорядоченное полукольцо; система — полукольцо; — изоморфное отображение полукольца на полукольцо — бинарное отношение во множестве наведенное отношением отображении множества А на множество . Тогда:

1) система упорядоченное полукольцо;

2) порядок в системе строгий тогда и только тогда, если порядок в системе А строгий;

3) порядок в системе архимедов тогда и только тогда, если порядок в системе А архимедов;

4) порядок в системе линеен тогда и только тогда, если порядок в системе линеен.

Доказательство. В самом деле, имеем

Пусть теперь . Тогда Следовательно, и

Аналогично доказываются и другие утверждения.