9.4. Непротиворечивость аксиоматической теории комплексных чисел

Теорема 9.4.1. Аксиоматическая теория комплексных чисел непротиворечива относительно аксиоматической теории действительных чисел.

Доказательство. Мы укажем модель данной теории. Пусть — поле действительных чисел. Рассмотрим множество Р пар действительных чисел и определим на Р бинарные операции и (сложение и умножение) следующими условиями:

Нам известно (вопрос 2.6.19), что — поле. Выберем в Р подмножество пар вида Сопоставим с каждым действительным числом а пару Легко видеть, что — взаимно-однозначное отображение R на Далее, имеем:

Таким образом, — изоморфное отображение на Следовательно:

а) — поле действительных чисел;

б) поле — расширение поля

Заметим также, что (1,0) и (0,0) — единица и нуль поля Полагаем i (0, 1). Имеем

Итак, на системе ) выполняются первые 15 аксиом нашей теории. Пусть, наконец, М — подмножество Р такое, что:

Докажем, что в таком случае любой элемент множества Р принадлежит множеству М. В самом деле, имеем

Теорема доказана.

Вопросы: 9.4.1. Доказать непротиворечивость аксиоматической теории комплексных чисел, рассматривая ее интерпретацию, в которой множества операции на них и элементы определены соглашениями:

9.4.2. Пусть T — множество троек действительных чисел, на котором операции и бинарное отношение определены соглашениями:

Доказать, что:

1) алгебра - коммутативное кольцо;

2) отношение — отношение эквивалентности, монотонное относительно обеих операций;

3) факторкольцо — поле, изоморфное полю комплексных чисел.

9.4.3. Воспользовавшись результатом вопроса 9.4.2, найти модель для аксиоматической теории комплексных чисел.