4.3. Свойства сложения

Теорема 4.3.1.

Доказательство. Фиксируем натуральное число а (любой элемент N). Обозначим через подмножество N вида

Имеем:

а) по аксиоме

б) из по аксиоме следует, что . Из аксиомы и предположения следует, что b) 4 1 состоит из одного элемента. Поэтому

другими словами,

По аксиоме

Итак, для каждого а и любого не пусто и состоит из одного элемента, т. е. сложение — алгебраическая операция на

Следовательно, для любых натуральных чисел а и b существует и только одно натуральное число с с условием, что . В дальнейшем символом мы обозначаем этот элемент.

Из доказанной теоремы и аксиомы следует, что

(4.3.1)

Теорема 4.3.2.

Доказательство. Фиксируем натуральные числа а и и обозначим через подмножество N вида

Имеем:

в силу (4.3.1);

б) если то получим в силу (4.3.1)

Таким образом, и по аксиоме

Теорема 4.3.3.

Доказательство. Обозначим через М подмножество N с условием

Имеем:

а) , так как

б) если , то в силу теоремы 4.3.2

Таким образом, аксиоме

Теорема 4.3.4.

Доказательство. Фиксируем натуральное число а и через обозначим подмножество N с условием

Имеем:

а) по доказанному;

б) если то по теоремам 4.3.2 и 4.3.3

Таким образом,

по аксиоме

Вопрос 4.3.1. Показать, что