9.3. Категоричность аксиоматической теории комплексных чисел

Теорема 9.3.1. Пусть - системы комплексных чисел. Тогда существует изоморфное отображение системы С на

Доказательство. Прежде всего услбвливаемся в целях краткости пользоваться одинаковыми знаками операций в С и R, а также в Далее, условливаемся элементы из С снабжать одним штрихом: а элементы из двумя: Поскольку любые поля действительных чисел по теореме 8.4.1 изоморфны, существует взаимно-однозначное отображение множества на такое, что:

Определим однозначное отображение множества С в следующим условием:

Нетрудно убедиться в том, что f — взаимно-однозначное отображение С на

Пусть Имеем:

Аналогично проверяется и условие

Вопросы: 9.3.1. Доказать, что в поле комплексных чисел имеется:

а) только одно подполукольцо, изоморфное полукольцу натуральных чисел;

б) только одно подкольцо, изоморфное кольцу целых чисел;

в) только одно поле, изоморфное полю рациональных чисел;

г) три поля, изоморфных полю вопроса 2.6.23.

9.3.2. Доказать, что в поле комплексных чисел имеется:

а) только один, отличный от тождественного, автоморфизм, оставляющий действительные числа на месте;

б) бесконечно много автоморфизмов.

9.3.3. Доказать, что в поле комплексных чисел имеется бесконечно много подпол ей, изоморфных полю действительных чисел.