2.4. Системы с отношениями и операциями

Определение 2.4.1. Пусть А — непустое и В — какое угодно множество и пусть для каждого в А задано -членное отношение . В таком случае упорядоченную пару А, компонентами которой служат А и множество всех отношений называют системой с отношениями или алгебраической системой.

Обозначение:

Пусть А — какое угодно подмножество А; символом мы обозначаем систему, состоящую из множества и отношений, индуцированных отношениями во множестве А.

Понятие системы с отношениями можно обобщить. В этом случае вместо множества А берется некоторое множество таких множеств, а в качестве отношений берутся отношения, заданные в каких-нибудь совокупностях таких множеств. Точное определение системы с отношениями в этом смысле будет дано позднее. Заметим, однако, что в системы, которые мы будем рассматривать, могут входить или одно множество А, или два . В последнем случае отношения могут задаваться или во множестве или во множестве или, наконец, во множествах

Пусть А — какая-нибудь система с отношениями. Обычно в системе А из ее множеств выделяют одно множество как основное и под элементом системы А понимают элемент этого множества, а за подмножество системы А принимают любое подмножество этого множества.

Определение 2.4.2. Пусть А — непустое множество и В — какое угодно множество, и пусть для каждого в А задана -арная алгебраическая операция . В таком случае систему с отношениями называют алгеброй или говорят также, что множество А—алгебра относительно операций .

Множество А и система очевидно, не одно и то же. В частности, следует отличать множество натуральных чисел от системы натуральных чисел.

В первом случае имеют дело с некоторым множеством символов 1, 2, 3, во втором случае отмечают, что на множестве N рассматриваются два тернарных и одно унарное отношение.

Понятие алгебры можно было бы обобщить примерно так же, как понятие системы с отношениями. Но в этом нет прямой необходимости.

В случае, если отношения алгебраической системы (операции алгебры) обладают определенными свойствами, то такие системы обозначают определенными терминами. В дальнейшем будут рассматриваться алгебры с одной бинарной операцией: полугруппы и группы; алгебры с двумя бинарными операциями: полукольца, кольца, тела и поля, алгебры с двумя бинарными операциями и множеством, иногда бесконечным, унарных: алгебры над полем. Некоторые из перечисленных систем рассматривались в курсе алгебры. Кроме того, будут изучаться системы с одним основным множеством и множеством отношений: упорядоченные множества, полугруппы и полукольца, а также системы, состоящие из двух множеств с операциями и отображениями одного из этих множеств в другое — нормированные поля.

При одновременном рассмотрении нескольких алгебраических систем, если нет опасности для недоразумений, отношения и операции в них мы иногда будем обозначать одними и теми же знаками.