3.3. Интерпретация и модель аксиоматической теории

Предположим, что наряду с данной аксиоматической теорией мы имеем другую теорию, аксиоматическую или даже интуитивную, основанную на той же системе логики. Если нам с каждым первичным термином данной теории удалось сопоставить какой-нибудь объект второй теории и притом так, что: 1) каждому высказыванию об объектах данной теории соответствует некоторое высказывание второй теории о ее объектах; 2) отрицаниям высказываний данной теории отвечают отрицания соответствующих высказываний второй теории, — то такую систему объектов второй теории называют интерпретацией данной теории.

Пример 3.3.1. Рассмотрим множество объектов примера 2.2.5 вместе с заданной на этом множестве бинарной операцией. Легко видеть, что эта совокупность объектов является интерпретацией аксиоматической теории групп.

Если в интерпретации данной теории аксиомам теории соответствуют теоремы, то интерпретацию называют моделью данной теории.

Пример 3.3.2. Интерпретация примера 3.3.1 в силу вопроса 2.2.2 не является моделью аксиоматической теории групп.

Следует заметить, что в известном смысле интуитивная теория, из которой мы исходим при построении аксиоматической теории, сама является моделью данной аксиоматической теории.

Обычно при построении аксиоматической теории предполагают известной неформальную, или интуитивную, теорию множеств и первичным терминам теории сразу придают некоторое теоретико-множественное истолкование — как некоторое множество (или некоторые множества) и отношения, с ним (с ними) связанные. Поэтому в результате первого шага построения аксиоматической теории получают не только перечень первичных терминов, но и некоторую теоретико-множественную интерпретацию теории.

Это определяет множество высказываний W теории, составляющее предмет теории как множество высказываний об элементах некоторого множества и об отношениях в нем. Можно поэтому сказать, что первый шаг в построении теории — задание множества первичных терминов теории — определяет множество W высказываний теории. Второй шаг — выбор множества аксиом — определяет множество теорем теории.

Вопросы: 3.3.1. Пусть А — система с отношениями, являющаяся моделью некоторой аксиоматической теории. Показать, что всякая система В, изоморфная А, является моделью той же теории.

3.3.2. Пусть — система с отношениями, являющаяся моделью некоторой теории. Пусть М — подмножество М и - система, изоморфная системе . Доказать, что на множестве В можно так определить отношения что система будет изоморфной системе А.

В заключение заметим, что при построении некоторых теорий, которым аксиоматическая теория натуральных чисел предшествует, не ограничиваются отношениями конечного ранга, но рассматривают и отношения счетного ранга (пункт 4.7).