Научная библиотека

8.7. Конечные и бесконечные цепные дроби

Буквой в этом разделе мы будем обозначать целое число, буквой — неотрицательное целое число k или символ . В последнем случае условимся, что

и для любого целого числа .

Определение 8.7.1. Пусть — конечная или бесконечная последовательность целых чисел, все члены которой, кроме, быть может, натуральные числа. Выражение

в случае, если или

в случае, если называют цепной дробью последовательности а или цепной дробью порядка . Любой член последовательности а называют элементом или неполным частным этой цепной дроби. Для каждого неотрицательного целого , если конечную цепную дробь

называют ее подходящей дробью порядка (определение 4.8.3).

Определение 8.7.2. Пусть последовательность целых чисел, все члены которой, кроме, быть может, натуральные числа. Подходящей функцией порядка цепной дроби последовательности а называют функцию , удовлетворяющую условиям:

Функция определена для всех положительных значений переменного . Легко видеть, что:

Определение 8.7.3. Пусть — последовательность целых чисел, все члены которой, начиная с натуральные числа. Полагаем:

Легко видеть, что :

Числа называют числителями, — знаменателями подходящих дробей.

Из определения 8.7.3 следует теорема:

Теорема 8.7.1. Если , то

Следствие 1. Если , то

Следствие 2. Если , то

Следствие 3. Если , то

Индукцией по из формул (8.7.1) легко выводится:

Теорема 8.7.2. Если , то

Следствие 1. Если , то

т. е. для всех допустимых значений целые числа взаимно просты.

Следствие 2. Если , то

Теорема 8.7.3. Если , то

Доказательство. Имеем

Предположим, что для некоторого с условием равенство (8.7.2) верно. Имеем

Поэтому

Отсюда в силу (8.7.1) получаем

Теорема 8.7.4. Если , то

Доказательство. Имеем

Пусть . Имеем

Воспользовавшись доказанной теоремой, получаем

Из теорем 8.7.3, 8.7.4 и 8.7.2 легко следует теорема.

Теорема 8.7.5. Если , то

Теорема 8.7.6. Если , то

Доказательство. Полагая в тождестве (8.7.3) и замечая, что

мы немедленно убеждаемся в справедливости нашего утверждения.

Легко видеть, что функция дифференцируема для каждого более того, из теоремы 8.7.3 без труда выводится:

Теорема 8.7.7. Если , то

Теорема 8.7.8. Если нечетно, то

Доказательство. Легко видеть, что

С другой стороны,

Отсюда и из теоремы 8.7.7 сразу следует наше утверждение.

Следствие 1. Последовательность подходящих дробей данной цепной дроби четного порядка возрастает, а последовательность подходящих дробей нечетного порядка убывает; любая подходящая четного порядка меньше каждой подходящей дроби нечетного порядка.

Следствие 2. Если то при этом только в случае, если

Из доказанной теоремы и теоремы 8.7.6 следует теорема.

Теорема 8.7.9. Для каждой бесконечной цепной дроби существует предел последовательности ее подходящих дробей.

Определение 8.7.4. Пусть — последовательность целых чисел, все члены которой, начиная с положительны. Значением цепной дроби последовательности а называют ее подходящую дробь порядка , если и предел последовательности ее подходящих дробей в случае, если

Полным частным порядка цепной дроби последовательности а, если называют значение цепной дроби последовательности , т. е. значение цепной дроби

если или цепной дроби

если

Символом для каждого мы обозначаем дальше полное частное цепной дроби последовательности а.

Итак, — значение цепной дроби последовательности а. Подобно тому как значение конечной цепной дроби

мы обозначаем символом , так и значение бесконечной цепной дроби последовательности мы будем обозначать выражением

Теорема 8.7.10. Если то

(8.7.4)

и равенство возможно только в Случае, если

Доказательство. Легко видеть, что наше утверждение достаточно доказать для . Если данная цепная дробь конечна и имеет порядок , то Вместе с тем Но по доказанному (теорема 8.7.8, следствие 1) для любого , если

и равенство возможно только в случае, если . Если данная дробь бесконечна, то

Отсюда легко следует наше утверждение и в этом случае.

Теорема 8.7.11. Если , то

Доказательство. Подходящую дробь порядка цепной дроби последовательности условимся обозначать символом . Итак, имеем:

Нетрудно заметить, что

Отсюда и из теоремы 8.7.3 получаем:

(0.7.0)

Пусть сначала . Тогда выбираем m так, что . При этом условии , что доказывает теорему. Пусть теперь со . Имеем:

Отсюда и из равенства (8.7.6) следует справедливость нашего утверждения и в этом случае.

Следствие 1. Если , то

Следствие 2. Если , то

Следствие 3. Если , то

Теорема 8.7.12. Если , то

Следствие 1. Если , то

Следствие 2. Если , то

при четном и

при нечетном.

Определение 8.7.5. Пусть — последовательность целых чисел, все члены которой, начиная с положительны. Последовательность а будем называть канонической, если или , или если Цепную дробь канонической последовательности будем называть канонической. Теорема 8.7.13. Для канонической цепной дроби, если 0

т. е. неполное частное равно целой части ее полного частного.

Доказательство. Наше утверждение очевидно, если . Пусть . По доказанному (теорема 8.7.11, следствие 2)

Если , то в силу теоремы 8.7.10

Если , то

что так как цепная дробь каноническая. Итак, если то . Это и доказывает наше утверждение.

Теорема 8.7.14 Пусть — канонические последовательности целых чисел. Значения цепных дробей последовательностей а и b соответственно равны тогда и только тогда, если последовательности а и b одного порядка и если равны их соответствующие члены.

Доказательство. Предположим, что

и докажем, что

если

В силу теоремы 8.7.13 нам достаточно показать, что

Символами мы обозначаем полные частные порядки цепных дробей последовательностей а и b соответственно.

Пусть для некоторого целого

Но в силу теоремы 8.7.13

Итак, . Но

Отсюда следует, что

Обратное утверждение теоремы очевидно.

Теорема 8.7.15 (представление действительных чисел цепными дробями). Для любого действительного числа существует и только одна каноническая цепная дробь, значение которой равно . Порядок этой дроби конечен, если число рациональное, и бесконечен в противном случае.

Доказательство. Единственность требуемого представления следует из теоремы 8.7.14. Существование. Полагаем

Если не целое, то полагаем

где . Полагаем

Если гг не целое, то полагаем

где Так, продолжая дальше, мы получим последовательность а целых чисел. Заметим, что все члены этой последовательности, начиная с положительны. Если эта последовательность конечна, т. е. если , то

и потому Поэтому полученная последовательность каноническая. Докажем, что ее значение равно числу . Для каждой подходящей функции порядка цепной дроби последовательности а

Поэтому

Но

Отсюда следует, что

(8.7.7)

если Пусть . В таком случае

Пусть Из теоремы 8.7.5 и тождества (8.7.7) следует, что

Замечая, что

мы получим, что и в этом случае. Покажем теперь, что последовательность а конечна в том и только в том случае, если число рационально. Если , то

и, следовательно, число рационально. Предположим, что где а — целое, — натуральное число. По теореме о делении с остатком (вопрос 6.2.4) можно найти частное (неполное) q и остаток такие, что:

Отсюда следует, что

Если то Поэтому

и

Продолжая дальше, мы находим, что

где

Поэтому, если , то

и

Так как последовательность

неотрицательных целых чисел строго убывает, то она конечна. А отсюда сразу следует, что и последовательность конечна.

Вопрос 8.7.1. Пусть последовательность целых чисел и - последовательность действительных чисел с условием, что для каждого . Доказать, что если

для всех , то а — каноническая последовательность и значение цепной дроби этой последовательности равно

Определение 8.7.6. Цепную дробь канонической последовательности называют периодической, если все члены данной последовательности, начиная с некоторого, периодически повторяются.

Теорема 8.7.16. Для того чтобы цепная дробь канонической последовательности а была периодической, необходимо и достаточно, чтобы

для каких-нибудь неотрицательных целых и различных чисел .

Доказательство. Предположим, что

где . Докажем, что для любого неотрицательного целого

и

В самом деле, если

то

а в силу следствия 2 из теоремы 8.7.11 отсюда следует, что

Теорема 8.7.17 (Лагранжа о квадратичной иррациональности). Если действительное число — иррациональный корень многочлена второй степени с целыми коэффициентами, то каноническая цепная дробь, значение которой равно , периодична.

Доказательство. Без ограничения общности можно предположить, что число — корень уравнения с четным коэффициентом при первой степени неизвестного. Таким образом, существуют целые такие, что

Так как , то

Пусть — значение канонической цепной дроби последовательности . Так как число — иррационально, то

Символом как и прежде, обозначаем полное частное цепной дроби последовательности а. Определим три последовательности целых чисел . При помощи следующих рекуррентных соотношений:

(8.7.8)

Докажем, что для любого неотрицательного целого

(8.7.9)

и

(8.7.10)

Для равенства (8.7.9) и (8.7.10) выполняются в силу предположения, так как . Пусть для некоторого неотрицательного целого оба равенства верны. Имеем (теорема 8.7.11, следствие 2)

Поэтому из равенства (8.7.9) мы получим

Отсюда следует, что

т. е.

Далее нетрудно проверить, что

Этим доказывается второе утверждение.

Пусть

Докажем, что множество М бесконечно. В самом деле, в противном случае все члены последовательности начиная с некоторого, одного знака. Без ограничения общности можно предположить, что все члены этой последовательности, начиная с некоторого, положительны. А тогда в силу равенства (8.7.8) и все члены последовательностей целых чисел начиная с некоторого, положительны. Но в таком случае для таких натуральных

Пусть . Тогда и мы имеем:

(8.7.11)

Не числа целые, поэтому из равенства (8.7.11) мы получим, что

Отсюда следует, множество

конечно. А потому и конечно множество

Но множество M бесконечно. Поэтому в нем можно найти числа такие, что

что в силу теоремы 8.7.16 и доказывает наше утверждение.

Теорема 8.7.18. Если — значение периодической цепной дроби, то — квадратичная иррациональность, т. е. — иррациональный корень уравнения второй степени с целыми коэффициентами.

Доказательство. Пусть — периодическая каноническая последовательность целых чисел, значение цепной дроби которой равно . По теореме 8.7.16 для некоторых неотрицательных целых и различных

Поэтому в силу следствия 3 теоремы 8.7.11 получим равенство

Отсюда легко следует, что число — корень квадратного трехчлена с целыми коэффициентами и со старшим коэффициентом, равным

Этот коэффициент не равен нулю. В противном случае

Но числа взаимно-просты. Следовательно, делитель это не может, быть, так как

Итак, — корень уравнения второй степени с целыми коэффициентами. При этом — иррациональное действительное число, так как последовательность а бесконечна.

Теорема 8.7.19 (Эйлера). Пусть — последовательность целых чисел, члены которой определяются следующими рекуррентными соотношениями;

1)

2) если , то

Тогда значение цепной дроби последовательности а равно .

Доказательство. Ряд

с общим членом

абсолютно сходится, так как

Легко проверить, что

и при

Отсюда следует тождество

Таким образом,

Полагая

мы получим

Отсюда следует (вопрос 8.7.1), что — значение цепной дроби последовательности , где Далее имеем:

Итак,

значение цепной дроби последовательности b.

Пусть подходящая дробь порядка последовательности b. В таком случае для всех

Пусть, как всегда, полное частное и подходящая дробь порядка последовательности а. Докажем, что для всех :

В справедливости этих равенств при легко убедиться непосредственно. Далее, имеем:

Умножая эти равенства соответственно на и складывая, получим

Аналогично

Отсюда легко следует тождество (8.7.12). Таким образом,

Переходя к пределу при , получим

Итак,

Примеры: 8.7.1. Пусть Имеем:

Таким образом,

8.7.2. Первые 8 элементов разложения числа в цепную дробь таковы:

В следующих теоремах идет речь о приближениях действительных чисел рациональными. Из теорем 8.7.10 и 8.7.12 (следствие 2) легко выводятся следующие две теоремы.

Теорема 8.7.20. Если , то

при этом равенство возможно только в случае, если Теорема 8.7.21. Если , то

Теорема 8.7.22. Пусть — значение канонической цепной дроби последовательности . Если , то

Доказательство. Если , то . Пусть . В силу теоремы 8.7.11 (следствие 3) имеем

Отсюда получим, что

Теорема 8.7.23 (о наилучшем приближении). Пусть Если , то

Доказательство. Если

то

Атак как числа в силу теоремы 8.7.12 разных знаков и , то

Отсюда следует, что

В силу теоремы 8.7.6

Числа — целые и не равные нулю. Поэтому имеем

Отсюда получим, что

Теоремй 8.7.24 (Дирихле). Пусть — действительное число. Для любого действительного числа а существует целое а и натуральное число b такие, что и

Доказательство. Разлагая число а в цепную дробь, мы найдем каноническую последовательность значение цепной дроби которой равно а. Так как и последовательность целых чисел о строго возрастает, то либо существует неотрицательное целое такое, что

либо для всех чисел . В первом случае

Во втором случае и мы имеем

Теорема 8.7.25 (Лиувилля). Пусть а — действительный корень многочлена с целыми коэффициентами степени Существует положительное число с такое, что для любых целого а и натурального b, если выполняется неравенство

Доказательство. Пусть — многочлен наименьшей степени с целыми коэффициентами и корнем а. Имеем

где — многочлен с действительными коэффициентами. Легко видеть, что

Поэтому имеем

Так как числитель число целое и не равное нулю, то

Рассмотрим отрезок Функция непрерывна на этом отрезке, и потому можно найти положительное число М такое, что

для всех данного отрезка. Отсюда следует, что если

Если же

Выбирая в качестве с наименьшее из чисел 1 и мы убеждаемся в справедливости теоремы для выбранного я. Общий случай отсюда немедленно следует.

Теорема 8.7.26 (конструкция трансцендентных чисел). Пусть — каноническая последовательность, элементы которой выбираются из условий:

1) — любое целое;

2) если выбраны, то за принимаем целое такое, что

Тогда значение цепной дроби последовательности а трансцендентно.

Доказательство. Предположим, что это не так. Тогда корень некоторого многочлена с целыми коэффициентами степени . В силу теоремы 8.7.24 существует положительное число с такое, что

(8.7.14)

каково бы ни было рациональное число .

С другой стороны, если -подходящая дробь разложения числа а в цепную дробь, то

Так как

то, выбирая мы получим

в противоречии с неравенством (8.7.14).

Вопросы: 8.7.2. Пусть — многочлен с рациональными коэффициентами степени — натуральные числа. Доказать, что:

2) из предположения, что , где а и b — натуральнее числа, следует равенство

(8.7.15)

Пусть, в частности, Доказать далее, что:

3) — целые числам

4)

5) равенство (8.7.15) неверно для всех достаточно больших я. 8.7.3. Доказать, что число я иррационально.

8.7.4. Пусть — многочлен с рациональными коэффициентами степени и k — неотрицательные целые;

Доказать, что:

1)

2) из предположения, что существуют целые числа такие, что спеп — 0, следует равенство

(8.7.16)

Пусть, в частности, где — простое Доказать далее, что:

3) — целое число, кратное при и не делящееся на при

4)

5) равенство (8.7.16) неверно для всех достаточно больших р. 8.7.5. Доказать, что число трансцендентно (теорема Эрмита). 8.7.6. Пусть

(8.7.17)

конечные ) или бесконечные (со ) последовательности действительных чисел. Целые значения , удовлетворяющие условию в дальнейшем называются допустимыми. Выражение

называют общей цепной дробью, а члены последовательностей (8.7.16) — ее элементами.

Элементы называют соответственно числителями и знаменателями цепной дроби (8.7.18). Пусть далее последовательности чисел, удовлетворяющие для всех допустимых значений рекуррентным уравнениям;

с начальными условиями

Каково бы ни было действительное число а, если все числители данной цепной дроби (8.7.18) отличны от нуля, число определяемое для допустимых значений из условий при называют полным частным разложения а в данную цепную дробь.

Если для какого-нибудь значения , то число называют подходящей дробью порядка данной цепной дроби (8.7.18).

Если цепная дробь (8.7.18) бесконечна, для всех допустимых значений и последовательность

(8.7.19)

сходится, то данную цепную дробь называют сходящейся, а предел последовательности (8.7.19) — ее значением.

Если все элементы цепной дроби (8.7.18) положительны, то равенство

для каждого положительного определяет действительное число . Функцию называют подходящей функцией цепной дроби (8.7.18).

Доказать, что:

1) для всех допустимых значений

2) для всех допустимых значений , начиная с 1,

3) значение сходящейся цепной дроби не изменится, если для каждого допустимого значения , начиная с 1, ее соответствующие элементы умножить на какое-нибудь не равное нулю число

4) если для каждого допустимого значения , то

5) бесконечная цепная дробь (8.7.18) сходится, если для каждого допустимого значения

6) для любой цепной дроби с положительными элементами ее подходящие функции для всех допустимых значений удовлетворяют рекуррентному уравнению

с начальным условием

7) для любой цепной дроби с положительными элементами и для каждого допустимого значения

если цепная дробь с положительными элементами сходится, то для каждой пары соседних подходящих дробей ее значение больше одной из них и меньше второй;

9) если все элементы данной цепной дроби положительны, <это для каждого допустимого значения , начиная с 2, отображение

есть взаимно-однозначное отображение множества положительных чисел на интервал с концами

10) сходящаяся цепная дробь с положительными элементами сходится к числу а тогда и только тогда, если все полные частные разложения а в данную цепную дробь положительны;

11) если цепная дробь (8.7.18) бесконечна и ее элементы — натуральные числа, удовлетворяющие для каждого допустимого значения условию то данная цепная дробь сходится и ее значение иррационально;

12) если все знаменатели бесконечной цепной дроби (8.7.18) положительны, а все ее числители равны 1, то данная цепная дробь сходится тогда и только тогда, если ряд расходится.