6.4. Непротиворечивость аксиоматической теории целых чисел

Теорема 6.4.1. Аксиоматическая теория целых чисел непротиворечива. Более тбчно: мы докажем непротиворечивость аксиоматической теории целых чисел, исходя из предположения, что аксиоматическая теория натуральных чисел непротиворечива.

Доказательство. Мы построим модель, на которой выполняются все 13 аксиом нашей теории. План доказательства:

1) построение кольца;

2) включение полукольца натуральных чисел. Для этой цели мы покажем, что некоторое подполукольцо построенной интерпретации нашей теории изоморфно полукольцу натуральных чисел и, значит, само является таковым;

3) проверка выполнения аксиомы минимальности.

Пусть — система натуральных чисел.

1а) Рассмотрим множество Р пар натуральных чисел и определим на Р бинарные операции следующим образом:

Нам известно, что система коммутативное полукольцо (вопрос 2.6.16). Легко проверить, что эта система кольцом не является.

16) Введем на множестве Р бинарное отношение:

Нам известно (вопрос 2.9.1), что это отношение рефлексивно, симметрично и транзитивно. Нетрудно показать, что это отношение монотонно относительно обеих операций в Р.

Пусть Р — множество классов эквивалентности множества Р относительно рассматриваемого отношения. Обозначая класс а, содержащий пару символом , мы имеем а , и если , то

В частности, для каждого с из

Из теоремы 2.9.1 следует, что тернарные отношения в Р, определяемые равенствами

бинарные алгебраические операции на Р. А из теоремы 2.9.2 следует, что соответствие

осуществляет гомоморфное отображение системы на систему . В силу теоремы 2.8.3 система — коммутативное полукольцо.

1в) Докажем, что эта система является кольцом. Пусть — какие-нибудь классы из Р. Покажем, что в множестве Р имеется такой класс что

(6.4.1)

Но

С другой стороны,

Последнее соотношение выполняется, если положить

Отсюда следует, что класс есть решение уравнения (6.4.1). Другими словами,

2) Выберем в Р подмножество следующим образом:

Проверим, что принадлежность не зависит от выбора представителя класса а. В самом деле, если , то

Сопоставим с натуральным числом класс . Имеем:

Далее

Аналогично

Таким образом, — изоморфное отображение полукольца натуральных чисел на систему Поэтому:

а) система — полукольцо натуральных чисел;

б) кольцо — расширение полукольца

3) Докажем, что на построенной интерпретации аксиоматической теории целых чисел выполняется и последняя аксиома — аксиома минимальности.

Пусть М — какое угодно подмножество Р, содержащее и вместе с любыми элементами их разность . Докажем, что в таком случае т. е. что любой элемент Р принадлежит М. Пусть . Тогда , где пит — какие-нибудь элементы N. Покажем, что класс у можно представить в виде разности двух элементов из Но мы имеем:

Поэтому

Вопросы: 6.4.1. Доказать, что всякое минимальное упорядоченное коммутативное кольцо с единицей изоморфно кольцу целых чисел.

6.4.2. Пусть — упорядоченная группа с минимальным положительным элементом т. Другими словами, для любого положительного элемента а системы А. Доказать, что группа изоморфна аддитивной группе целых чисел, если порядок в А архимедов, т. е. если

6.4.3. Можно или нет линейно упорядочить (ввести линейный порядок) полукольцо , полученное нами при доказательстве теоремы