| << Предыдущий параграф | Следующий параграф >> |
 |
|
| << Предыдущий параграф | Следующий параграф >> |
6.5. Первичные термины и аксиомы аксиоматической теории рациональных чисел
Мы исходим из определения: системой рациональных чисел называется минимальное поле, которое является расширением кольца целых чисел.
Следующие термины принимаем в качестве первичных:
а) Q — множество, его элементы называем рациональными числами;
б) + и • — сложение и умножение — бинарные операции на 
— нуль — нейтральный элемент сложения на 
г) Z — подмножество Q, его элементы называем целыми числами,
д) 
— сложение и умножение — бинарные операции на Z. В согласии с данным определением систему 
)
мы называем системой рациональных чисел, если она удовлетворяет пятнадцати аксиомам, составляющим следующие три группы:
(аксиома минимальности). Всякое подмножество 
множества Q, если:
а) включает 
и
совпадает с 
Если 
— система рациональных чисел, то систему 
) будем называть полем рациональных чисел, систему 
) — аддитивной группой рациональных чисел, систему 
— мультипликативной полугруппой рациональных чисел, систему 
— мультипликативной группой рациональных чисел.
| << Предыдущий параграф | Следующий параграф >> |
-
ПРЕДИСЛОВИЕ
-
§ 1. ВВЕДЕНИЕ
§ 2. СИСТЕМЫ С ОТНОШЕНИЯМИ И АЛГЕБРАИЧЕСКИМИ ОПЕРАЦИЯМИ
-
2.1. Прямое произведение
-
2.2. n-членные отношения и n-арные алгебраические операции
-
2.3. Отображения
-
2.4. Системы с отношениями и операциями
-
2.5. Полугруппы и группы
-
2.6. Полукольца, кольца, тела и поля
-
2.7. Векторные пространства и линейные алгебры
-
2.8. Гомоморфизм и изоморфизм алгебраических систем
-
2.9. Отношение эквивалентности
-
2.10. Расширения алгебраических систем
§ 3. АКСИОМАТИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ
-
3.1. Аксиоматическая теория
-
3.2. Схема построения неформальной аксиоматической теории
-
3.3. Интерпретация и модель аксиоматической теории
-
3.4. Формулировка аксиоматической теории
-
3.5. Свойства аксиоматических теорий
-
3.6. Формальные аксиоматические теории
-
§ 4. СОДЕРЖАТЕЛЬНАЯ АКСИОМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
-
4.2. Аксиомы
-
4.3. Свойства сложения
-
4.4. Свойства умножения
-
4.5. Порядок во множестве натуральных чисел
-
4.6. Свойства неравенств
-
4.7. Конечные множества
-
4.8. Сумма и произведение нескольких элементов полугруппы
-
4.9. Независимость аксиомы индукции и роль аксиомы индукции в обосновании теории неравенств, теории делимости и свойств арифметических действий
-
4.10. Категоричность аксиоматической теории натуральных чисел
-
4.11. Аксиома минимальности
-
4.12. Непротиворечивость арифметики и другие вопросы
§ 5. УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
-
5.1. Упорядоченные множества
-
5.2. Упорядоченные полугруппы
-
5.3. Упорядоченные полукольца
-
5.4. Линейно упорядоченные кольца и тела
§ 6. СИСТЕМЫ ЦЕЛЫХ И РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
-
6.1. Первичные термины и аксиомы аксиоматической теории целых чисел
-
6.2. Свойства целых чисел
-
6.3. Категоричность системы целых чисел
-
6.4. Непротиворечивость аксиоматической теории целых чисел
- 6.5. Первичные термины и аксиомы аксиоматической теории рациональных чисел
-
6.6. Свойства рациональных чисел
-
6.7. Категоричность аксиоматической теории рациональных чисел
-
6.8. Непротиворечивость аксиоматической теории рациональных чисел
§ 7. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ В НОРМИРОВАННЫХ ПОЛЯХ
-
7.1. Нормированные поля
-
7.2. Последовательности в нормированных полях
-
7.3. Свойства последовательностей в нормированных полях
-
7.4. Последовательности элементов линейно упорядоченного поля
-
7.5. Последовательности элементов архимедовски линейно упорядоченного поля
§ 8. СИСТЕМА ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
-
8.1. Первичные термины и аксиомы теории действительных, чисел
-
8.2. Свойства действительных чисел
-
8.3. Систематические дроби как аппарат для представления действительных чисел
-
8.4. Категоричность аксиоматической теории действительных чисел
-
8.5. Непротиворечивость аксиоматической теории действительных чисел
-
8.6. Система p-адических чисел
-
8.7. Конечные и бесконечные цепные дроби
§ 9. СИСТЕМА КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ, КВАТЕРНИОНЫ И ТЕОРЕМА ФРОБЕНИУСА
-
9.1. Первичные термины и аксиомы теории комплексных чисел
-
9.2. Свойства комплексных чисел
-
9.3. Категоричность аксиоматической теории комплексных чисел
-
9.4. Непротиворечивость аксиоматической теории комплексных чисел
-
9.5. Алгебры конечного ранга
-
9.6. Алгебры над полем действительных чисел
-
УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ
-
ЛИТЕРАТУРА