7.3. Свойства последовательностей в нормированных полях

В этом разделе рассматривается нормированное поле через обозначается любое подполе поля Р.

Теорема 7.3.1. Всякая стационарная последовательность элементов поля А сходится к а по норме v относительно поля

В самом деле, для любого положительного из имеем

Легко доказывается следующая теорема.

Теорема 7.3.2. Всякая подпоследовательность последовательности а элементов поля А

1) ограничена по норме v относительно поля если последовательность а ограничена по норме v относительно поля

2) фундаментальна по норме v относительно поля если последовательность а фундаментальна по норме v относительно поля Р

3) сходится к элементу а поля А по норме v относительно поля если последовательность а сходится к элементу а по норме v относительно поля

4) эквивалентна последовательности а по норме v относительно поля если последовательность а фундаментальна по норме v относительно поля

Теорема 7.3.3. Всякая сходящаяся по норме v относительно поля последовательность элементов поля А фундаментальна по норме v относительно поля

В самом деле, если последовательность сходится к элементу а по норме v относительно поля , то для любого положительного элемента поля можно найти натуральное такое, что

Имеем

Теорема 7.3.4. Пусть — фундаментальные по норме v относительно поля последовательности элементов поля А. Тогда фундаментальна по норме v относительно поля каждая из последовател ьностей:

Доказательство. Утверждения вытекают из следующих неравенств:

Теорема 7.3.5. Пусть — сходящиеся по норме v относительно поля к элементам а и b соответственно последовательности элементов поля А. Тогда последовательности:

сходятся по норме v относительно поля к элементам и соответственно.

Доказательство легко получается из рассмотрения следующих неравенств:

Теорема 7.3.6. Если последовательность нулевая по норме v относительно поля а последовательность ограничена по норме v относительно поля то последовательность нулевая по норме v относительно поля

Доказательство. В самом деле, имеем

Теорема 7.3.7. Пусть — последовательности элементов поля А. Тогда:

Если последовательность ограничена по норме v относительно поля , то

Справедливость теоремы легко выводится из теорем 7.3.1, 7.3.5 и 7.3.6.

Теорема 7.3.8. Пусть — эквивалентные по норме v относительно поля последовательности элементов поля А. Тогда:

1) одна из них фундаментальна по норме v относительно поля если и только если тем же свойством обладает вторая;

2) одна из них сходится к элементу а поля А по норме v относительно поля если и только если тем же свойством обладает вторая.

Доказательство теоремы нетрудно получить из рассмотрения неравенств:

Теорема 7.3.9. Пусть — последовательность элементов поля . Тогда:

1) если последовательность а фундаментальна по норме v относительно поля то и последовательность фундаментальна относительно поля

2) если последовательность а сходитея к элементу а по норме относительно поля то и последовательность сходится к элементу относительно поля

3) последовательность а нулевая по норме v относительно поля если и только если последовательность нулевая относительно юля

Доказательство легко получается из следующих соотношений:

Теорема 7.3.10. Если последовательность элементов поля А не сходится к нулю по норме v относительно поля то существует такой положительный элемент в поле и такая подпоследовательность последовательности а, что

Доказательство. В самом деле, если последовательность а не сходится к нулю по норме v относительно поля , то это значит, что для некоторого положительного элемента поля каково бы ни было натуральное число , существует натуральное число такое, что

Теорема 7.3.11, Если последовательность фундаментальна по норме v относительно поля и не сходится к нулю по норме v относительно поля то существует такой положительный элемент в поле и такое натуральное число что

Доказательство. По теореме 7.3.10 можно указать такой положительный элемент в поле и подпоследовательность что

(7.3.1)

С другой стороны, по теореме 7.3.2. последовательность а и ее подпоследовательность эквивалентны по норме v относительно поля Отсюда следует, что существует такое натуральное число что

Поэтому в силу (7.3.1) имеем

В формулировках теорем 7.3.12-7.3.17 упорядоченное поле Р нельзя заменить на любое его подполе.

Теорема 7.3.12. Всякая сходящаяся по норме v относительно поля Р последовательность элементов поля Р имеет не более одного предела.

Доказательство. Пусть а и b — пределы последовательности а по норме v относительно поля Р. Если , то Полагаем и выбираем натуральные числа так, что

Отсюда получим противоречие:

Теорема 7.3.13. Последовательность элементов поля А ограничена по норме v относительно поля Р тогда и только тогда, если выполняется любое из следующих соотношений:

Доказательство. Из 1) следует, что

НО

Теорема 7.3.14. Всякая фундаментальная по норме v относительно поля Р последовательность ограничена по норме v относительно поля Р.

Доказательство. В самом деле, для, например, можно найти натуральное число такое, что

Наше утверждение следует из теоремы 7.3.13 и неравенства

Теорема 7.3.15. Пусть — эквивалентные по норме v относительно поля Р последовательности элементов поля А. Тогда:

1) одна из них ограничена по норме v относительно поля Р, если и только если тем же свойством обладает вторая;

2) если одна из них ограничена по норме v относительно поля Р, то для любого натурального k последовательности эквивалентны по норме v относительно поля Р.

Доказательство теоремы легко следует из теоремы 7.3.13 и неравенств:

Теорема 7.3.16. Пусть — фундаментальные по норме v относительно поля Р последовательности элементов поля А. Тогда:

1) последовательность фундаментальна по норме v относительно поля Р;

2) если последовательность не нулевая по норме v относительно поля Р и , то последовательность фундаментальна по норме v относительно поля Р.

Доказательство. Первое утверждение легко следует из теоремы 7.3.14 и неравенства

Второе утверждение следует из теорем 7.3.11, 7.3.14 и неравенства

Теорема 7.3.17. Пусть — сходящиеся по норме v относительно поля Р к элементам а и b соответственно последовательности элементов поля Р. Тогда:

1) последовательность сходится к по норме v относительно поля Р;

2) если , то последовательность сходится к по норме v относительно поля Р.

Доказательство теоремы легко получается из неравенств:

Вопросы: 7.3.1. Пусть — рациональные числа; — простое число; — -адические нормы примера 7.1.3, определяемые для неравного нулю числа а условиями:

если

Доказать, что последовательность рациональных чисел нулевая по норме тогда и только тогда, если она нулевая по норме

7.3.2. В системе примера 7.2.1 рассматриваются последовательности:

с общими членами вида:

Проверить, что:

1) каждая из последовательностей фундаментальна относительно поля

2) последовательности ограничены относительно поля Q, последовательности не ограничены относительно поля

3) последовательность относительно поля Q сходится к любому элементу поля вида , где

4) последовательность с общим членом Ьпсп не является фундаментальной относительно поля

5) последовательности сходятся относительно поля Q, но последовательность с общим членом Ьпсп не сходится отйосительно поля

6) последовательности эквивалентны относительно поля Q, но последовательности с общими членами апсп и Ьпсп неэквивалентны относительно поля

7) последовательность сходится к 1 относительно поля Q, ее каждый член меньше но

8) последовательность Р сходится к относительно поля Q, но последовательность с общим членом не сходится к относительно поля