| << Предыдущий параграф | Следующий параграф >> |
 |
|
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
| << Предыдущий параграф | Следующий параграф >> |
Макеты страниц
§ 4. СОДЕРЖАТЕЛЬНАЯ АКСИОМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
4.1. Первичные термины
— множество натуральных чисел, называемое в дальнейшем также натуральным рядом,
— единица — элемент множества 
- сумма — тернарное отношение в 
— произведение — тернарное отношение в 
Итак, в качестве первичных терминов в нашей теории выступают множество N, одно унарное отношение («быть единицей») и два тернарных отношения («быть суммой», «быть произведением»). Обозначения.
1) Если 
, то мы пишем 
2) Для любой пары элементов а и b из N символом
мы обозначаем множество 
3) Для любой пары подмножеств А и В множества N символом
мы обозначаем множество 
.
4) Если 
то символ
означает то же, что символ 
.
Аналогичным образом определяется смысл выражений 
.
Легко видеть, что, каковы бы ни были подмножества А, В, С, D множества 
Вместе с тем следует заметить, что, пока не названы аксиомы нашей теории, мы не можем сказать, пусты или нет множества 
, каковы бы ни были А и В.
Упражнение 4.1.1. Найти 
| << Предыдущий параграф | Следующий параграф >> |
Оглавление
-
ПРЕДИСЛОВИЕ
-
§ 1. ВВЕДЕНИЕ
§ 2. СИСТЕМЫ С ОТНОШЕНИЯМИ И АЛГЕБРАИЧЕСКИМИ ОПЕРАЦИЯМИ
-
2.1. Прямое произведение
-
2.2. n-членные отношения и n-арные алгебраические операции
-
2.3. Отображения
-
2.4. Системы с отношениями и операциями
-
2.5. Полугруппы и группы
-
2.6. Полукольца, кольца, тела и поля
-
2.7. Векторные пространства и линейные алгебры
-
2.8. Гомоморфизм и изоморфизм алгебраических систем
-
2.9. Отношение эквивалентности
-
2.10. Расширения алгебраических систем
§ 3. АКСИОМАТИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ
-
3.1. Аксиоматическая теория
-
3.2. Схема построения неформальной аксиоматической теории
-
3.3. Интерпретация и модель аксиоматической теории
-
3.4. Формулировка аксиоматической теории
-
3.5. Свойства аксиоматических теорий
-
3.6. Формальные аксиоматические теории
- § 4. СОДЕРЖАТЕЛЬНАЯ АКСИОМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
-
4.2. Аксиомы
-
4.3. Свойства сложения
-
4.4. Свойства умножения
-
4.5. Порядок во множестве натуральных чисел
-
4.6. Свойства неравенств
-
4.7. Конечные множества
-
4.8. Сумма и произведение нескольких элементов полугруппы
-
4.9. Независимость аксиомы индукции и роль аксиомы индукции в обосновании теории неравенств, теории делимости и свойств арифметических действий
-
4.10. Категоричность аксиоматической теории натуральных чисел
-
4.11. Аксиома минимальности
-
4.12. Непротиворечивость арифметики и другие вопросы
§ 5. УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
-
5.1. Упорядоченные множества
-
5.2. Упорядоченные полугруппы
-
5.3. Упорядоченные полукольца
-
5.4. Линейно упорядоченные кольца и тела
§ 6. СИСТЕМЫ ЦЕЛЫХ И РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
-
6.1. Первичные термины и аксиомы аксиоматической теории целых чисел
-
6.2. Свойства целых чисел
-
6.3. Категоричность системы целых чисел
-
6.4. Непротиворечивость аксиоматической теории целых чисел
-
6.5. Первичные термины и аксиомы аксиоматической теории рациональных чисел
-
6.6. Свойства рациональных чисел
-
6.7. Категоричность аксиоматической теории рациональных чисел
-
6.8. Непротиворечивость аксиоматической теории рациональных чисел
§ 7. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ В НОРМИРОВАННЫХ ПОЛЯХ
-
7.1. Нормированные поля
-
7.2. Последовательности в нормированных полях
-
7.3. Свойства последовательностей в нормированных полях
-
7.4. Последовательности элементов линейно упорядоченного поля
-
7.5. Последовательности элементов архимедовски линейно упорядоченного поля
§ 8. СИСТЕМА ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
-
8.1. Первичные термины и аксиомы теории действительных, чисел
-
8.2. Свойства действительных чисел
-
8.3. Систематические дроби как аппарат для представления действительных чисел
-
8.4. Категоричность аксиоматической теории действительных чисел
-
8.5. Непротиворечивость аксиоматической теории действительных чисел
-
8.6. Система p-адических чисел
-
8.7. Конечные и бесконечные цепные дроби
§ 9. СИСТЕМА КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ, КВАТЕРНИОНЫ И ТЕОРЕМА ФРОБЕНИУСА
-
9.1. Первичные термины и аксиомы теории комплексных чисел
-
9.2. Свойства комплексных чисел
-
9.3. Категоричность аксиоматической теории комплексных чисел
-
9.4. Непротиворечивость аксиоматической теории комплексных чисел
-
9.5. Алгебры конечного ранга
-
9.6. Алгебры над полем действительных чисел
-
УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ
-
ЛИТЕРАТУРА