2.6. Полукольца, кольца, тела и поля

Определение 2.6.1. Алгебру называют полукольцом, если — коммутативная полугруппа с сокращением, -полугруппа и операции связаны законом дистрибутивности.

Другими словами, система — полукольцо, если отношения — бинарные операции на А, удовлетворяющие следующим условиям:

Полукольцо называют коммутативным, если операция коммутативна, — конечным, если множество А конечно.

Элемент 0 полукольца называют нулем полукольца А, если

Элемент полукольца называют единицей полукольца А, если

Таким образом, нуль полукольца — нейтральный элемент сложения, а единица — нейтральный элемент умножения.

Полугруппу полукольца называют аддитивной полугруппой полукольца А, полугруппу — его мультипликативной полугруппой.

Определение 2.6.2. Полукольцо называют кольцом, если

Другими словами, полукольцо А — кольцо, если, его аддитивная полугруппа — группа.

Пример 2.6.1. Обозначим через множество всех целых чисел, кратных натуральному , т. е. чисел с вида

где — любое целое. Легко видеть, что арифметические операции (сложение и умножение) — алгебраические операции на что — коммутативная группа относительно сложения, коммутативная полугруппа относительно умножения и обе операции связаны законом дистрибутивности. Таким образом, — кольцо. Это кольцо коммутативно, имеет нуль и при не имеет единицы.

Итак, каждое кольцо имеет нуль кольца, и притом только один (вопрос 2.5.6), но не обязательно содержит единицу.

Определение 2.6.3. Пусть — кольцо, 0 — его нуль, а и b — элементы А, отличные от нуля. Если а то элементы а и b называют делителями нуля кольца А, а само кольцо А — кольцом с делителями нуля.

Определение 2.6.4. Кольцо называют телом, если А состоит не из одного нуля и если

Определение 2.6.5. Коммутативное тело называют полем.

Примеры: 2.6.2. Кольцо классов вычетов кольца целых чисел по модулю — целое . Это кольцо, конечно, состоит из элементов, коммутативно. — поле тогда и только тогда, если простое. При составном кольцо имеет делители нуля.

2.6.3. Кольцо многочленов над кольцом А с единицей. Известно, что кольцо коммутативно, если кольцо А коммутативно; без делителей нуля, если А без делителей нуля.

2.6.4. Пусть А — непустое множество и кольцо. Рассмотрим множество О однозначных отображений А в В. Пусть и g — какие-нибудь элементы множества О. С каждым элементом сопоставим элементы Нетрудно видеть, что тем самым определены два однозначных отображения А в B. Обозначая первое через второе через имеем:

Таким образом:

Легко проверить, что система — кольцо. Нулем кольца является отображение, которое с каждым элементом множества А сопоставляет нуль кольца В. Если В состоит не из одного нуля и А не из одного элемента, то кольцо О имеет делители нуля. Кольцо О называют кольцом функций из А в В.

2.6.5. Пусть А — отрезок — множество действительных чисел. Кольцо всех однозначных отображений А в В — кольцо вещественных функций, определенных на отрезке

2.6.6. Пусть — поле. Рассмотрим множество, состоящее из 0 (нуля) и выражений вида:

где — целое или

Такие выражения будем складывать и перемножать как многочлены. В результате мы получим систему, являющуюся полем. Это поле называют полем формальных степенных рядов от неизвестного над полем P. I

2.6.7. Пусть — поле. Рассмотрим множество, состоящее из нуля и выражений вида:

где — любые целые, . Складывать такие выражения будем, как в примере 2.6.6, т. е. почленно.

Под произведением выражений будем понимать выражение вида

где есть сумма в которой суммирование происходит по всем допустимым значениям индексов . Можно проверить, что полученная система — некоммутативное тело.

Определения 2.6.6, 2.6.7 и 2.6.8. Пусть — кольцо, A — подмножество А. Систему называют подкольцом (соответственно подтелом, подполем) кольца А, если система А — кольцо (соответственно тело, поле).

Вопрос 2.6.1. Пусть — кольцо, А — непустое подмножество . Доказать, что система тогда и только тогда подкольцо кольца А, если для любой пары элементов из А их разность и произведение снова принадлежат А.

Пример 2.6.8. Пусть А — отрезок — множество всех действительных чисел. Известно, что сумма и произведение двух функций, непрерывных на отрезке, — функции, непрерывные на том же отрезке. Отсюда следует, что множество F вещественных функций, непрерывных на отрезке — кольцо относительно операций, определенных в примере 2.6.4.

Вопросы: 2.6.2. Пусть — кольцо, А — непустое подмножество А состоящее не из одного элемента. Доказать, что система — подтело кольца А тогда и только тогда, если для любой пары элементов множества Л их разность и решение каждого из уравнений

при принадлежат А или

2.6.3. Пусть — кольцо, А — непустое подмножество А, состоящее не из одного элемента. Доказать, что система — подполе кольца А тогда и только тогда, если А для каждой пары не равных нулю элементов содержит их разность и частное.

2.6.4. Пусть — кольцо, М — непустое множество с условием, что для каждого из М определено — подкольцо кольца А. Пусть — пересечение всех т. е.

Доказать, что система — подкольцо кольца А. Коротко: пересечение любого множества подколец кольца А снова подкольцо кольца А.

2.6.5. Пусть в условиях вопроса 2.6.4 для каждого из М система — подтело кольца А. Доказать, что система — подтело кольца А.

2.6.6. Пусть в условиях вопроса 2.6.4 для каждого из М система А — подполе кольца А. Доказать, что система — подполе кольца А.

2.6.7. Пусть система — полукольцо, . Доказать, предполагая, что все встречающиеся разности имеют смысл, следующие равенства:

2.6.8. Пусть система — полукольцо с нулем 0. Доказать, что

2.6.9. Пусть система — кольцо без делителей нуля, A — состоит не из одного нуля и А — множество отличных от нуля элементов множества А. Доказать, что система — полугруппа с сокращением.

2.6.10. Пусть система — кольцо с единицей . Доказать, что .

2.6.11. Пусть система — тело, А — множество отличных от нуля элементов тела А. Доказать, что система — группа.

2.6.12. Пусть система — поле, . Доказать, что:

2.6.13. Пусть — некоммутативное кольцо, — его подполе, перестановочное с А, т. е.

Пусть, далее, — многочлены над полем Р. Доказать, что для любого элемента а кольца А

2.6.14. Пусть Р — множество всех пар натуральных чисел и пусть на Р определены операции следующими условиями:

Показать, что система — коммутативное полукольцо с единицей.

2.6.15. Пусть множество всех пар натуральных чисел с условием пусть — операции, определенные в вопросе Показать, что система — коммутативное полукольцо с единицей.

2.6.16. Пусть — множество всех пар натуральных чисел и пусть на операции определены следующим образом:

Показать, что система — коммутативное полукольцо.

2.6.17. Пусть — множество всех пар целых чисел с условием и пусть на операции определены следующим образом:

Показать, что системы — коммутативные полугруппы с нейтральными элементами соответственно. Показать, что система не является полукольцом.

2.6.18. Обозначим через множество всех пар рациональных чисел , для которых операции сложения и умножения О определены следующим образом:

Показать, что — поле.

2.6.19. Обозначим через множество всех пар действительных чисел , для которых операции сложения и умножения О определены следующим образом:

Показать, что — поле, а пары (0, 0) и (1, 0) — нуль и единица этого поля.

2.6.20. Обозначим через множество матриц второго порядка над кольцом комплексных чисел, т. е. с комплексными элементами, для которых сложение и умножение определены обычным образом, т. е.:

Доказать, что — некоммутативное кольцо с делителями нуля.

2.6.21. Для каждого комплексного числа символом а будем обозначать число, сопряженное с а, т. е. число — действительные числа, Известно, что:

Символом обозначим множество матриц второго порядка с комплексными элементами вида

Доказать, что — тело.

2.6.22. Пусть К, — множество всех конечных множеств натуральных чисел.

Если , то под суммой (соответственно произведением множеств А и В будем понимать множество всех сумм а + b (соответственно произведений ) таких, что . Показать, что определенные так тернарные отношения в К — бинарные операции на Почему система не является коммутативным полукольцом?

2.6.23. Пусть — любой комплексный корень уравнения и — множество всех комплексных чисел вида

где , — произвольные рациональные числа. Показать, что — поле, если и - сложение и умножение комплексных чисел,