| << Предыдущий параграф | Следующий параграф >> |
 |
|
| << Предыдущий параграф | Следующий параграф >> |
6.7. Категоричность аксиоматической теории рациональных чисел
Теорема 6.7.1. Аксиоматическая теория рациональных чисел категорична.
Доказательство. В предположении, что аксиоматическая теория рациональных чисел непротиворечива, докажем, что две любые модели, на которых выполняются все пятнадцать аксиом нашей теории, изоморфны. Пусть
две модели нашей теории. Так как любые кольца целых чисел изоморфны, то существует изоморфное изображение 
кольца 
на кольцо 
. Но по теореме 6.6.1 любой элемент 
представим в виде частного элементов из 
а любой элемент из 
— в виде частного элементов из 
. Этим и воспользуемся для задания изоморфного отображения первой системы на вторую.
Пусть 
— такие элементы из 
что
Полагаем
Далее, рассуждая, как при доказательстве теоремы 6.3.1, мы убеждаемся, что f осуществляет изоморфное отображение одной модели на другую.
Вопросы: 6.7.1. Доказать, что любые поля рациональных чисел изоморфны.
6.7.2. Доказать, что поле, изоморфное полю рациональных чисел, само является полем рациональных чисел.
| << Предыдущий параграф | Следующий параграф >> |
-
ПРЕДИСЛОВИЕ
-
§ 1. ВВЕДЕНИЕ
§ 2. СИСТЕМЫ С ОТНОШЕНИЯМИ И АЛГЕБРАИЧЕСКИМИ ОПЕРАЦИЯМИ
-
2.1. Прямое произведение
-
2.2. n-членные отношения и n-арные алгебраические операции
-
2.3. Отображения
-
2.4. Системы с отношениями и операциями
-
2.5. Полугруппы и группы
-
2.6. Полукольца, кольца, тела и поля
-
2.7. Векторные пространства и линейные алгебры
-
2.8. Гомоморфизм и изоморфизм алгебраических систем
-
2.9. Отношение эквивалентности
-
2.10. Расширения алгебраических систем
§ 3. АКСИОМАТИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ
-
3.1. Аксиоматическая теория
-
3.2. Схема построения неформальной аксиоматической теории
-
3.3. Интерпретация и модель аксиоматической теории
-
3.4. Формулировка аксиоматической теории
-
3.5. Свойства аксиоматических теорий
-
3.6. Формальные аксиоматические теории
-
§ 4. СОДЕРЖАТЕЛЬНАЯ АКСИОМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
-
4.2. Аксиомы
-
4.3. Свойства сложения
-
4.4. Свойства умножения
-
4.5. Порядок во множестве натуральных чисел
-
4.6. Свойства неравенств
-
4.7. Конечные множества
-
4.8. Сумма и произведение нескольких элементов полугруппы
-
4.9. Независимость аксиомы индукции и роль аксиомы индукции в обосновании теории неравенств, теории делимости и свойств арифметических действий
-
4.10. Категоричность аксиоматической теории натуральных чисел
-
4.11. Аксиома минимальности
-
4.12. Непротиворечивость арифметики и другие вопросы
§ 5. УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
-
5.1. Упорядоченные множества
-
5.2. Упорядоченные полугруппы
-
5.3. Упорядоченные полукольца
-
5.4. Линейно упорядоченные кольца и тела
§ 6. СИСТЕМЫ ЦЕЛЫХ И РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
-
6.1. Первичные термины и аксиомы аксиоматической теории целых чисел
-
6.2. Свойства целых чисел
-
6.3. Категоричность системы целых чисел
-
6.4. Непротиворечивость аксиоматической теории целых чисел
-
6.5. Первичные термины и аксиомы аксиоматической теории рациональных чисел
-
6.6. Свойства рациональных чисел
- 6.7. Категоричность аксиоматической теории рациональных чисел
-
6.8. Непротиворечивость аксиоматической теории рациональных чисел
§ 7. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ В НОРМИРОВАННЫХ ПОЛЯХ
-
7.1. Нормированные поля
-
7.2. Последовательности в нормированных полях
-
7.3. Свойства последовательностей в нормированных полях
-
7.4. Последовательности элементов линейно упорядоченного поля
-
7.5. Последовательности элементов архимедовски линейно упорядоченного поля
§ 8. СИСТЕМА ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
-
8.1. Первичные термины и аксиомы теории действительных, чисел
-
8.2. Свойства действительных чисел
-
8.3. Систематические дроби как аппарат для представления действительных чисел
-
8.4. Категоричность аксиоматической теории действительных чисел
-
8.5. Непротиворечивость аксиоматической теории действительных чисел
-
8.6. Система p-адических чисел
-
8.7. Конечные и бесконечные цепные дроби
§ 9. СИСТЕМА КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ, КВАТЕРНИОНЫ И ТЕОРЕМА ФРОБЕНИУСА
-
9.1. Первичные термины и аксиомы теории комплексных чисел
-
9.2. Свойства комплексных чисел
-
9.3. Категоричность аксиоматической теории комплексных чисел
-
9.4. Непротиворечивость аксиоматической теории комплексных чисел
-
9.5. Алгебры конечного ранга
-
9.6. Алгебры над полем действительных чисел
-
УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ
-
ЛИТЕРАТУРА