Научная библиотека

3.2. Схема построения неформальной аксиоматической теории

При построении аксиоматической теории обычно исходят из некоторой достаточно развитой интуитивной теории и предполагают известной интуитивную систему классической логики. В принципе можно было бы основываться и на какой-нибудь другой системе логики, например на конструктивной. В последней, в отличие от классической, считают неприемлемым применение закона исключенного третьего к бесконечным множествам. Утверждение, что каждое натуральное число либо обладает, либо не обладает некоторым свойством , истинно с классической точки зрения. Но с конструктивной точки зрения оно истинно лишь в том случае, если известен алгоритм, который позволяет для каждого числа за конечное число шагов убедиться, выполняется или нет свойство . Принятие конструктивной точки зрения приводит к ограничениям не только на высказывания, но и на определения.

Первым шагом в построении аксиоматической теории является составление перечня основных объектов данной теории и выбор символов для их обозначения. Такими символами могут быть знаки или слова, а сами они называются первичными символами или терминами. Итак, на первом шаге построения аксиоматической теории составляется перечень первичных терминов данной теории.

Вторым шагом в построении аксиоматической теории является составление перечня основных свойств отобранных объектов — высказываний об основных объектах и запись их при помощи первичных символов. Эти свойства называются аксиомами. Таким образом, в результате второго шага составляется перечень аксиом данной теории.

После этого, следуя принципам принятой системы логики, выводят из аксиом теоремы и определяют на основе первичных терминов другие используемые в теории термины.

Легко видеть, что принадлежность определенного высказывания к множеству Т связана с тем, на какой системе логики основывается данная теория. Аналогичное замечание можно сделать и относительно терминов, используемых в данной теории.