8.4. Категоричность аксиоматической теории действительных чисел

Теорема 8.4.1. Пусть - две модели аксиоматической теории действительных чисел. Тогда существует изоморфное отображение одной модели на вторую.

Доказательство. По теореме 6.6.3 поле есть расширение поля рациональных чисел поле есть расширение поля рациональных чисел . По теореме 6.7.1 существует изоморфное отображение поля Она поле . По теореме 5.3.2 бинарное отношение в наведенное отношением есть порядок. Но по теореме 6.6.2 поле рациональных чисел можно упорядочить только одним способом. Из этого следует, что

Отсюда также следует, что если последовательность элементов поля фундаментальна, то и последовательность фундаментальна.

Пусть а — какое-нибудь число поля . Тогда а есть предел стационарной последовательности , а следовательно, в силу теорем 7.5.6 и 7.3.8 и предел некоторой последовательности элементов поля Но по теореме 7.3.3 эта последовательность фундаментальна, и, следовательно, последовательность фундаментальна и по определению поля действительных чисел сходится к некоторому элементу поля . Обозначим этот элемент через . Покажем, что определенное так отображение поля в поле есть взаимно-однозначное отображение множества R на

Заметим прежде всего, что эквивалентные последовательности элементов поля Q при отображении переходят в эквивалентные последовательности элементов поля Отсюда следует, что Ф — однозначное отображение множества R в . Столь же нетрудно доказать, что разным элементам множества R отвечают различные элементы множества и что для каждого элемента из в R имеется прообраз.

Пусть — какие-либо элементы множества — последовательности элементов поля Q такие, что

Тогда имеем

Отсюда получим

и

А потому

так как

Аналогично можно показать, что

Наконец, из теорем 5.3.2 и 8.2.3 следует, что

Тем самым изоморфизм двух систем доказан.

Вопрос 8.4.1. Доказать, что поле действительных чисел не имеет никакого автоморфизма (т. е. изоморфизма ), кроме тождественного.