4.6. Свойства неравенств

Теорема 4.6.1. (связность):

Теорема 4.6.2. (антирефлексивность):

Теорема 4.6.3. (асимметричность):

Теорема 4.6.4. (транзитивность):

Теорема 4.6.5. (монотонность относительно сложения):

Теорема 4.6.6. (любое натуральное число — положительно):

Теорема 4.6.7. (монотонность относительно умножения):

Все эти теоремы легко выводятся из теорем 4.5.2 и 4.5.3, а также из свойств сложения и умножения.

Легко доказывается и следующая теорема.

Теорема 4.6.8. Бинарное отношение > во множестве натуральных чисел удовлетворяет следующим условиям:

Вопросы: 4.6.1. Доказать:

4.6.2. Доказать:

4.6.3. Доказать:

4.6.4. Доказать:

4.6.5. Доказать:

4.6.6. Доказать:

4.6.7. Доказать:

(теорема Архимеда).

4.6.8. Доказать:

4.6.9. Доказать:

4.6.10. Доказать, что разность натуральных чисел а и b имеет мысл тогда и только тогда, если

4.6.11. Доказать, что если частное натуральных чисел а и b меет смысл, то а

4.6.12. Доказать, что т. е. 2 не делит 1.

4.6.13. Доказать, что

4.6.14. Доказать, что

4.6.15. Доказать, что

4.6.16. Доказать, что

4.6.17. Доказать, что

4.6.18. Доказать, что для любых натуральных чисел а и b отрезок пуст тогда и только тогда, если

4.6.19. Пусть на множестве N определено бинарное отношением» связное, антирефлексивное, антисимметричное, транзитивное, монотонное относительно сложения, и пусть . Доказать, что

4.6.20. Показать, что:

а) отношение > на множестве натуральных чисел однозначно определяется следующими условиями:

б) ни одно из четырех названных выше условий не является следствием остальных.

Теорема 4.6.9. Всякое непустое и ограниченное множество натуральных чисел имеет наибольший элемент.

Легко выводится из соотношения

Теорема 4.6.10. Всякое непустое множество натуральных чисел имеет наименьший элемент.

Доказательство. Пусть ; полагаем

Так как , то Пусть b — наибольший элемент множества В. Тогда , и, следовательно, . Но ; поэтому А не содержит элементов, меньших b.

Вопросы: 4.6.21. Пусть М — подмножество N, удовлетворяющее условию

Доказать, что

4.6.22. Пусть и удовлетворяет условиям:

Показать, что