3.4. Формулировка аксиоматической теории

Упорядоченную пару множеств называют формулировкой данной аксиоматической теории. Мы уже упоминали, что в данной аксиоматической теории наряду с первичными неопределяемыми терминами могут рассматриваться и другие — определяемые термины. Обозначим через множество определяемых терминов теории. В таком случае — множество всех терминов, рассматриваемых в данной теории. Через мы обозначили множество аксиом данной теории. Если через обозначить множество остальных, отличных от аксиом, доказуемых высказываний теории, то объединение составит множество теорем данной теории.

Возможна ли другая формулировка данной теории? Пусть — какое-нибудь подмножество S и — какое-нибудь подмножество высказываний из Т, выразимых в терминах . Пара , очевидно, тогда и только тогда является формулировкой данной теории, если каждый термин из можно определить через термины из а каждое высказывание из можно вывести из высказываний множества .

Примером аксиоматической теории может служить теория групп. Эта теория допускает различные формулировки.

В теории групп иногда за первичные термины принимают некоторое множество G, бинарную операцию на нем и некоторый элемент этого множества, а аксиомы теории формулируют следующим образом:

В качестве теорем можно рассматривать, например, такие высказывания:

Таким образом, перечень аксиом состоит из теорем . Итак, мы имеем следующую формулировку теории групп:

В то же время известно (определение 2.5.2), что теория групп допускает и вторую формулировку:

Вопрос 3.4.1. Указать какую-нибудь интерпретацию теории групп и выяснить, является ли она моделью этой теории.

В дальнейшем, приводя формулировки известных теорий, мы часто будем ограничиваться указанием множества — первичных терминов; множество — аксиом — при этом будет подразумеваться.

Так, например, слова «пусть система — группа» означают, что мы пользуемся первой формулировкой теории групп, а слова «система — группа» означают, что мы пользуемся второй формулировкой этой теории. Это замечание относится к различным формулировкам теории колец, полей и т. д.

Вопрос 3.4.2. Указать различные формулировки теории полей.

При построении конкретной содержательной аксиоматической теории из соображений краткости аксиомы иногда формулируют как высказывания о терминах данной теории, не обязательно первичных, а в качестве терминов пользуются терминами какой-нибудь из предшествующих теорий.