2.10. Расширения алгебраических систем

Определение 2.10.1. Пусть

и

какие-нибудь алгебраические системы. Систему А мы называем расширением системы В, если:

Другими словами, система А — расширение системы В, если В — подмножество А и для каждого из М отношение индуцировано отношением

Примеры: 2.10.1. Кольцо многочленов над кольцом А — расширение кольца А.

2.10.2. Кольцо рациональных чисел не является расширением аддитивной группы кольца целых чисел.

2.10.3. Рассмотрим алгебраические системы вопросов 2.6.14 и Вторая не является расширением первой.

2.10.4. Любое кольцо — расширение своего подкольца (подтела, подполя).

2.10.5. Любая алгебра — расширение своей подалгебры.

Вопросы: 2.10.1. Доказать, что любое коммутативное кольцо с единицей и без делителей нуля можно вложить в поле. Другими словами, доказать, что существует поле, подкольцом которого является кольцо

Такое поле называют полем отношений кольца А. Таким образом, в частности, кольцо многочленов от одного неизвестного над полем Р можно вложить в поле — в поле рациональных дробей (функций) от одного неизвестного. Поле рациональных функций над полем Р от неизвестного обозначают символом

2.10.2. Пусть выполнено условие теоремы 2.9.3. и система А — кольцо. Доказать, что система В — кольцо.

2.10.3. Пусть выполняются условия теоремы 2.9.3, система А — кольцо многочленов над полем — неприводимый над полем Р многочлен, — отношение эквивалентности примера 2.9.4. Доказать, что система В — поле, которое содержит подполе, изоморфное полю Р.