9.2. Общая логическая схема статистического критерия

По своему назначению и характеру решаемых задач статистические критерии чрезвычайно разнообразны. Однако их объединяет общность логической схемы, по которой они строятся. Коротко эту логическую схему можно описать так.

1. Выдвигается гипотеза

2. Задаются величиной так называемого уровня значимости критерия а.

Дело в том, что всякое статистическое решение, т. е. решение, принимаемое на основании ограниченного ряда наблюдений, неизбежно сопровождается некоторой, хотя может и очень малой, вероятностью ошибочного заключения как в ту, так и в другую сторону. Скажем, в какой-то небольшой доле случаев а гипотеза может оказаться отвергнутой, в то время как на самом деле она является справедливой, или, наоборот, в какой-то небольшой доле случаев Р мы можем принять нашу гипотезу, в то время как на самом деле она является ошибочной, а справедливым оказывается некоторое конкурирующее с ней предположение — альтернатива При фиксированном объеме выборочных данных величину вероятности одной из этих ошибок мы можем выбирать по своему усмотрению. Если же объем выборки можно как угодно увеличивать, то имеется принципиальная возможность добиваться как угодно малых вероятностей обеих ошибок при любом фиксированном конкурирующем предположительном утверждении . В частности, при фиксированном объеме выборки обычно задаются величиной а вероятности ошибочного отвержения проверяемой гипотезы которую часто называют «основной» или «нулевой». Эту вероятность ошибочного отклонения «нулевой» гипотезы принято называть уровнем значимости или размером критерия. Выбор величины уровня значимости а зависит от сопоставления потерь, которые мы понесем в случае ошибочных заключений в ту или иную сторону: чем весомее для нас потери от ошибочного отвержения высказанной гипотезы тем меньшей выбирается величина . Однако поскольку такое сопоставление в большинстве практических задач оказывается весьма затруднительным (часто трудно даже вообще сказать, в какую сторону ошибка является для нас более опасной), то, как правило, пользуются некоторыми стандартными значениями уровня значимости. К таким стандартным значениям можно причислить величины . Особенно распространенной является величина уровня значимости а, равная 0,05. Она означает, что в среднем в пяти случаях из 100 мы будем ошибочно отвергать высказанную гипотезу при пользовании данным статистическим критерием.

3. Задаются некоторой функцией от результатов наблюдения (критической статистикой) . Эта критическая статистика как и всякая функция от результатов наблюдения, сама является случайной величиной (см. § 8.1) и в предположении справедливости гипотезы подчинена некоторому хорошо изученному (затабулированному) закону распределения с плотностью

Принцип построения критической статистики (принцип отношения правдоподобия) описан в следующем параграфе. Поясним здесь лишь общий содержательный смысл этой статистики: как правило, ею определяется мера расхождения имеющихся в нашем распоряжении выборочных данных (9.1) с высказанной (и проверяемой) гипотезой Так, в гипотезах типа рассмотренных в п. 9.1.1 критическая статистика определяет меру различия между анализируемой эмпирической функцией распределения и гипотетической моделью функции . В гипотезах типа рассмотренных в п. 9.1.2 величина измеряет степень расхождения соответствующих выборочных характеристик в различных выборках; в гипотезах типа рассмотренных в п. 9.1.3 — отклонения выборочных характеристик от соответствующих гипотетических значений и т. д.

4. Из таблиц распределения находятся -ная точка -ная точка (см. § 5.6), разделяющие всю область мыслимых значений случайной величины на три части: область неправдоподобно малых (I), неправдоподобно больших (III) и естественных, или правдоподобных (в условиях справедливости гипотезы ), значений (II) (рис. 9.1). В тех случаях, когда основную опасность для нашего утверждения представляют только односторонние отклонения, т. е. только «слишком маленькие» или только «слишком большие» значения критической статистики находят лишь одну процентную точку: либо -ную точку которая будет разделять весь диапазон значений на две части: область неправдоподобно малых и область правдоподобных значений; либо -ную точку ); она будет разделять весь диапазон значений область неправдоподобно больших и область правдоподобных значений.

5. Наконец, в функцию подставляют имеющиеся конкретные выборочные данные и подсчитывают численную величину Если окажется, что вычисленное значение принадлежит области правдоподобных значений то гипотеза считается не противоречащей выборочным данным.

В противном случае, т. е. если слишком мала или слишком велика, делается вывод, что на самом деле не подчиняется закону (этот вывод, как легко понять, сопровождается вероятностью ошибки, равной а), и это несоответствие мы вынуждены объяснить ошибочностью высказанного нами предположения и, следовательно, отказаться от него.

Таким образом, решение, принимаемое на основании любого статистического критерия, может оказаться ошибочным как в случае отклонения проверяемой гипотезы (с вероятностью а), так и в случае ее принятия (с вероятностью Р).

Рис. 9.1. График плотности распределения критической статистики и выделение областей «правдоподобных» II и «неправдоподобных» (I и III), в условиях справедливости гипотезы значений этой статистики

Вероятности ошибочных решений называют также ошибками соответственно первого и второго рода, а величину мощностью критерия. Очевидно, из двух критериев, характеризующихся одной и той же вероятностью а отвергнуть в действительности правильную гипотезу следует предпочесть тот, который сопровождается меньшей ошибкой второго рода (или большей мощностью).

Если проверяемое предположительное утверждение сводится к гипотезе о том, что значение некоторого параметра в точности равно заданной величине (см. выше гипотезы, рассмотренные в п. 9.1.3), то эта гипотеза называется простой. В других случаях гипотеза будет называться влажной.