8.6.5. Построение интервальных оценок (доверительных областей).

В § 8.5 введено понятие интервальной оценки неизвестного параметра которую называют также доверительным интервалом, а при многомерном параметре, т. е. при доверительной областью. Как же конкретно построить по выборочным данным такую случайную область которая с наперед заданной доверительной вероятностью Р накрывала бы неизвестное нам значение параметра ? Очевидно, эта область должна конструироваться вокруг точечной оценки

0 параметра 0, а ее точный вид и объем определяются характером закона распределения случайной величины , в частности ее функцией распределения которая, к сожалению, тоже зависит от неизвестного истинного значения параметра .

Существует два подхода к преодолению этой трудности. Первый подход, если его удается реализовать, приводит к построению точных (при каждом конечном объеме выборки доверительных областей и основан на подборе таких функций и от к переменных и таких не зависящих от нормирующих констант что распределение статистик типа

или

может быть точно описано (например, с помощью одного из стандартных затабулированных законов, см. п. 6.1.5, 6.2.1, 6.2.6) и не зависит от неизвестного параметра .

В качестве примера рассмотрим задачу интервального оценивания параметров а и нормальной генеральной совокупности (см. пример 8.3 в п. 8.6.1).

Как известно (см. п. 6.2.2), статистика

подчинена закону распределения Стьюдента с степенями свободы (в данном случае функция ) , а нормирующая константа Поэтому, определив из таблиц по заданной вероятности Р процентные точки уровня -распределения с степенями свободы (т. е. -процентную точку ) и -процентную точку причем в силу симметрии распределения см. п. 5.6.5), мы можем утверждать, что неравенство

выполняется с вероятностью . А это означает, что случайный доверительный интервал

накрывает неизвестное среднее значение а с заданной вероятностью Р.

Для построения интервальной оценки параметра пользуемся тем фактом, что статистика подчинена -квадрат распределению с степенями свободы (см.

п. 6.2.1).

Таким образом, в данном случае функция , а нормирующая константа . Поэтому, определив из таблиц процентные точки -распределения с степенями свободы: где, как и прежде, , а Р — заданная доверительная вероятность, имеем неравенство

которое выполняется с вероятностью . А это означает, что случайный доверительный интервал

накрывает неизвестное значение дисперсии с заданной вероятностью .

Второй подход к построению доверительных, областей более прост и универсален, однако он основан на асимптотических свойствах оценок, а поэтому дает приближенные результаты и пригоден лишь при достаточно больших объемах выборок п. Этот подход использует тот факт (см. § 8.4), что как оценки максимального правдоподобия, так и оценки по методу моментов имеют асимптотически-нормальное совместное распределение, т. е. распределение -мерного вектора стремится к многомерному нормальному закону с нулевым вектором средних значений и с ковариационной матрицей , зависящей от неизвестного параметра . При этом приближенном подходе допускаются две «натяжки»: во-первых, асимптотический вид распределений случайной величины используется при конечных объемах выборки и, во-вторых, вместо неизвестного значения параметра в матрицу вставляется его оценочное значение .

Теперь, для того чтобы построить доверительную область для неизвестного параметра мы должны воспользоваться следующим известным фактом (см. [12, с. 77]): если -мерный вектор распределен нормально с параметрами и , то случайная величина

имеет -распределение с k степенями свободы.

Определив из таблиц по заданной величине доверительной вероятности Р процентные точки -распределения с k степенями свободы , где и заменив в известной матрице неизвестное значение параметра его приближенным значением , мы можем утверждать, что неравенство

(8.42)

выполняется с вероятностью, приблизительно равной Р.

Замечание 1. В случае единственного оцениваемого параметра (т. е. при ) можно воспользоваться

1 непосредственно (, - -нормальностью разности и записать вместо (8.42)

где -процентная точка стандартного нормального распределения, а — дисперсия оценки . Из (8.42) следует запись соответствующего доверительного интервала:

Замечание 2. Если в качестве используются точечные оценки максимального правдоподобия, то ковариационная матрица вектора однозначно определяется информационной матрицей Фишера (см. § 8.3 и 8.4):

где элементы матрицы определяются соотношениями (8.7).

Замечание 3. Положительная определенность и симметричность матрицы обусловливают эллипсоидальный характер доверительного множества, задаваемого соотношением (8.42).

Пример 8.8. Рассмотрим задачу интервальной оценки по наблюдениям параметра биномиального закона (см. п. 6.1.1), т.е. закона распределения дискретной случайной величины , определяемого вероятностями

где N — известное целое положительное число, а — параметр, подлежащий оценке

Сначала в соответствии с техникой, описанной в п. 8.6.1, подсчитаем точечную оценку максимального правдоподобия параметра .

Логарифмическая функция правдоподобия в данном случае

Соответствующее уравнение максимального правдоподобия

Решая его относительно , получаем оценку максимального правдоподобия:

Пользуясь независимостью и тем фактом, что (см. п. 6.1.1), имеем:

Задавшись доверительной вероятностью используя факт асимптотической нормальности разности и подставляя в выражение для дисперсии вместо его приближенное значение , получим в соответствии с (8.42") интервальную оценку для (с уровнем доверия