8.1.5. Эффективность.

Представим себе, что мы имеем две состоятельные и несмещенные векторные оценки неизвестного векторного параметра . Для возможности геометрической интерпретации примера будем полагать размерность k векторного параметра равной двум Для анализа свойств двух конкурирующих оценок будем производить многократное (в данном примере двадцатикратное) оценивание неизвестного параметра каждым из двух рассматриваемых способов. С этой целью подсчитываем значения являющиеся результатом подстановки в функции по порядку выборки объема т. е. извлекаем первую выборку объема вставляем эти наблюдения в качестве аргументов функций и — получаем первую пару оценок ; затем извлекаем вторую выборку объема вставляем эти наблюдения в качестве аргументов тех же функций и — получаем вторую пару оценок , и т. д. На рис. 8.1 по горизонтальной оси отложены первая компонента неизвестного (оцениваемого) параметра и первые компоненты ее двух оценок на рис. 8.1, а и на рис. 8.1, б), а по вертикальной оси — вторая компонента неизвестного (оцениваемого) параметра и вторые компоненты ее двух оценок на рис. 8.1, а и на рис. 8.1, б).

Таким образом, взаимное расположение точки и крестика на рис. 8.1, а дает наглядное представление о близости оценки полученной первым способом с использованием выборки, к истинному значению оцениваемого параметра (аналогичная картина для второго способа оценивания представлена на рис. 8.1, б). Более тесная концентрация оценок, полученных первым способом, около истинного значения, очевидно, склонит нас к мысли о большей эффективности оценки по сравнению с оценкой .

Рис. 8.1. Два способа состоятельного несмещенного оценивания многомерного параметра характеризующегося разной эффективностью: а) более эффективная оценка; б) менее эффективная оценка

Именно этот критерий как мера разброса оцененных значений около истинного значения в соответствующем -мерном пространстве и положен в основу определения эффективности оценки. Оценка параметра называется эффективной, если она среди всех прочих оценок того же самого параметра обладает наименьшей мерой случайного разброса относительно истинного значения оцениваемого параметра. Эффективность является решающим свойством, определяющим качество оценки, и оно, вообще говоря, не предполагает обязательного соблюдения свойства несмещенности.

Остается уточнить, как именно измеряется степень случайного разброса значений оценки относительно истинной величины параметра .

В случае, когда — скаляр (т. е. размерность оценки ), в качестве такой естественной меры берется средний квадрат отклонения, т. е. величина что для несмещенных оценок совпадает с их дисперсией, так как в этом случае

В случае, когда оценка — вектор (т. е. размерность оценки ), в качестве меры отклонения от истинного значения векторного параметра обычно рассматривается ковариационная матрица оценки , т. е. симметричная и неотрицательно-определенная матрица размера которую мы будем обозначать . Соответственно оценка параметра считается более эффективной, чем оценка если существуют их ковариационные матрицы и матрица является неотрицательно-определенной.

Для векторных оценок возможны случаи, когда, несмотря на существование матриц и , нельзя ответить на вопрос, какая из двух оценок эффективнее в вышеуказанном смысле. Эта неопределенность устраняется, если в качестве меры отклонения векторной несмещенной оценки от истинного значения оцениваемого параметра рассматривать не саму ковариационную матрицу оценки , а ее определитель (обобщенная дисперсия, см. п. 5.6.7) или след